Em certa região, a previsão do tempo é realizada independentemente por dois postos meteorológicos, um da Aeronáutica e outro da Marinha. Considerem-se os seguintes eventos, relacionados com a previsão do tempo para certo dia naquela região.
\mathrm{M}= “O posto da Marinha preverá tempo bom”;
\mathrm{A}= “O posto da Aeronáutica preverá tempo bom”;
\mathrm{T}= “O tempo será bom”.
Pesquisas anteriores permitem estimar as seguintes probabilidades:
\begin{array}{lll} \mathrm{P}(\mathrm{MAT})=0,50 & \mathrm{P}(\mathrm{MA})=0,60 & \mathrm{P}(\mathrm{M})=0,67 \quad \mathrm{P}(\mathrm{~A})=0,67 \\\ \mathrm{P}(\mathrm{MT})=0,55 & \mathrm{P}(\mathrm{AT})=0,53 & \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}} \overline{\mathrm{~A}} \mathrm{~T})=0,06 \end{array}
Calcular as probabilidades dos seguintes eventos:
“O posto da Marinha acertará na previsão do tempo”;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • \mathrm{P}(\mathrm{MAT})=0,50.
  • \mathrm{P}(\mathrm{MA})=0,60.
  • \mathrm{P}(\mathrm{M})=0,67.
  • \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,67 (este valor foi informado no enunciado).
  • \mathrm{P}(\mathrm{MT})=0,55.
  • \mathrm{P}(\mathrm{AT})=0,53.
  • \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\;\overline{\mathrm{A}}\;\overline{\mathrm{T}})=0,06.
O enunciado pergunta somente:
  • Calcular a probabilidade de que “o posto da Marinha acertará na previsão do tempo”.
Observação sobre o que significa “acertar”: o posto da Marinha acerta quando a previsão que ele fez coincide com o tempo real. Em termos de eventos isso é:
\text{Marinha acerta} = (\mathrm{M}\cap \mathrm{T}) \;\cup\; (\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}).

Passo 2

Expressar a probabilidade do evento “Marinha acerta” com probabilidade de eventos básicos.
Como (\mathrm{M}\cap \mathrm{T}) e (\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}) são disjuntos, vale
\mathrm{P}(\text{Marinha acerta})=\mathrm{P}(\mathrm{M}\cap \mathrm{T})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}).
Do enunciado temos \mathrm{P}(\mathrm{M}\cap \mathrm{T})=\mathrm{P}(\mathrm{MT})=0,55. Falta calcular \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}).

Passo 3

Relacionar \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}) com as interseções fornecidas (particionando por A e \overline{A}).
Escrevemos
\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}) =\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap A\cap \overline{\mathrm{T}}) +\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{A}\cap \overline{\mathrm{T}}).
Do enunciado temos \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{A}\cap \overline{\mathrm{T}})=0,06. Falta \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap A\cap \overline{\mathrm{T}}).

Passo 4

Calcular \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap A\cap \overline{\mathrm{T}}) a partir das probabilidades marginais e interseções dadas.
Primeiro, a probabilidade de A pode ser decomposta em
\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(M\cap A)+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A).
Logo
\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(M\cap A).
Peguei de enunciado \mathrm{P}(A)=0,67 e \mathrm{P}(M\cap A)=\mathrm{P}(\mathrm{MA})=0,60. Portanto
\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)=0,67-0,60=0,07.
Agora decompondo \mathrm{P}(\overline{M}\cap A) em casos com T e \overline{T}:
\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)=\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)+\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap \overline{T}).
Do enunciado temos \mathrm{P}(A\cap T)=\mathrm{P}(\mathrm{AT})=0,53 e sabemos \mathrm{P}(M\cap A\cap T)=\mathrm{P}(\mathrm{MAT})=0,50. Então
\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=\mathrm{P}(A\cap T)-\mathrm{P}(M\cap A\cap T)=0,53-0,50=0,03.
Assim
\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap \overline{T})=\mathrm{P}(\overline{M}\cap A)-\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap T)=0,07-0,03=0,04.

Passo 5

Somar as partes para obter \mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}).
Agora temos
\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}) =\mathrm{P}(\overline{M}\cap A\cap \overline{T})+\mathrm{P}(\overline{M}\cap \overline{A}\cap \overline{T}) =0,04+0,06=0,10.

Passo 6

Calcular finalmente a probabilidade de que a Marinha acerte.
Usando o Passo 2,
\mathrm{P}(\text{Marinha acerta})=\mathrm{P}(\mathrm{M}\cap \mathrm{T})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{M}}\cap \overline{\mathrm{T}}) =0,55+0,10=0,65.

Resposta

0,65

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