Sejam varepsilon um experimento aleatório e S o espaço amostral a ele correspondente. Sejam A e B dois eventos de S. Demonstre que se A e B são independentes então também são independentes os seguintes pares de eventos: \overline{\mathrm{A}} \mathrm{eB}
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
Dado um experimento aleatório \varepsilon com espaço amostral S.
São dados dois eventos A e B em S.
Hipótese: A e B são independentes (isso é uma informação que podemos usar).
Pedido: Demonstrar que os eventos \overline{A} (o complemento de A) e B também são independentes.
Passo 2
Lembrando a definição e propriedades básicas que vamos usar (explicando cada coisa):
Definição de independência: dois eventos X e Y são independentes se vale
P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y).
Aqui P(\cdot) é a função probabilidade; P(X\cap Y) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente X e Y; P(X)\,P(Y) é o produto das probabilidades individuais. A hipótese diz que isto vale para X=A e Y=B, ou seja
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Complemento e sua probabilidade: o complemento \overline{A} é o evento “A não ocorre”. Pela propriedade de complemento temos
P(\overline{A})=1-P(A).
Passo 3
Escrever B como união disjunta de duas partes (partição de B) e usar aditividade de probabilidades:
Observe que qualquer ocorrência de B é ou com A ou com \overline{A}, e essas duas situações são mutuamente exclusivas. Logo
B=(A\cap B)\cup(\overline{A}\cap B),
e as interseções são disjuntas. Pela aditividade da probabilidade em eventos disjuntos,
P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B).
Desse último igual podemos isolar P(\overline{A}\cap B):
P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B).
Passo 4
Substituir a hipótese de independência e fazer a álgebra final:
Como A e B são independentes, sabemos que P(A\cap B)=P(A)\,P(B). Substituindo na expressão anterior,
P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A)\,P(B).
Colocando P(B) em evidência:
P(\overline{A}\cap B)=\bigl(1-P(A)\bigr)P(B).
Usando a fórmula do complemento \,P(\overline{A})=1-P(A)\,, obtemos
P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\,P(B).
Passo 5
Conclusão e interpretação para a prova (dica rápida):
A igualdade anterior é exatamente a definição de independência aplicada aos eventos \overline{A} e B. Portanto \overline{A} e B são independentes.
Dica para prova: esta é uma identidade curta e muito útil; geralmente resolve-se escrevendo P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B) e substituindo P(A\cap B)=P(A)P(B).