Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 0,1 . Um meteorologista da TV acerta suas previsões em 80% dos dias em que chove e em 90% dos dias em que não chove.
Se não houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de chuva?

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? A gente sabe que num dia de primavera a chance de chuva é 0,1. O meteorologista acerta com 80% de chance quando chove e com 90% quando não chove. A pergunta é: se ele errou a previsão, qual a probabilidade de, na verdade, ter sido um dia de chuva?
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional, Teorema de Bayes e probabilidade total. Vou explicar tudo de boa, passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Primeiro, anota os dados e define eventos:
  • : dia de chuva.
  • : dia sem chuva.
  • : meteorologista acerta a previsão.
  • : meteorologista erra a previsão.
E as probabilidades conhecidas:
  • . Então .
  • , logo .
  • , logo .

Passo 3

Agora vamos achar a probabilidade total de erro P(A^c) ;=; P(A^c mid C),P(C);+;P(A^c mid C^c),P(C^c) . A gente usa a regra da probabilidade total:
P(A^c) = 0,2 times 0,1 + 0,1 times 0,9 = 0,02 + 0,09 = 0,11
Substituindo os valores:

Passo 4

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(C mid A^c) = P(A^c mid C),P(C)P(A^c) :
P(C mid A^c) = 0,2 times 0,10,11 = 0,020,11 = 211
Plugando:

Resposta

A probabilidade de ter sido um dia de chuva, dado que o meteorologista errou a previsão, é (cerca de 18,18%).

Exercícios relacionados