Em uma certa rocha lunar constatou-se conter igual número de átomos de potássio e de argônio. Assuma que todo o argônio é o resultado do decaimento radiativo do potássio (sua meia-vida é algo como 1,28
anos) e que uma em cada nove desintegraçőes de átomo de potássio fornece um átomo de argônio. Qual a idade da rocha, medida desde o tempo em que ela continha apenas potássio?
Passo 1
O enunciado diz que, atualmente, a rocha contém igual número de átomos de potássio e de argônio. As informações relevantes são:
- Todo o argônio presente veio do decaimento do potássio.
- A meia-vida do potássio é
anos (assumo esse valor, que é o indicado pelo enunciado). - Em cada nove desintegrações de potássio, apenas uma produz um átomo de argônio; ou seja, a fração das desintegrações que geram argônio é
.
A pergunta é: qual é a idadeda rocha desde que ela continha somente potássio?
Passo 2
Modelo físico-matemático (lei do decaimento radioativo).
Quando uma substância radioativa decai, o número de átomos que resta decresce exponencialmente. A fórmula básica é
Quando uma substância radioativa decai, o número de átomos que resta decresce exponencialmente. A fórmula básica é
onde:
-
é o número inicial de átomos (aqui, todo potássio no tempo zero), -
é o número de átomos de potássio que restam no tempo , -
é a constante de decaimento (unidade: ano ), -
é o tempo passado (anos).
A meia-vidaestá ligada a por
Vou explicar: meia-vida é o tempo que leva para metade dos átomos desaparecerem; portanto
. Substituindo na lei exponencial obtém-se
, daí
.
Passo 3
Contagem de átomos após tempo
.
- Número de átomos de potássio que restam:
- Número de átomos de potássio que decaíram até
:
Como só uma em cada nove desintegrações produz argônio, o número de átomos de argônio formados é
Passo 4
Usar a condição do enunciado (quantidades iguais agora).
O enunciado afirma . Substituindo as expressões:
O enunciado afirma
Cancelei
(não é zero) e resolvo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Somando
aos dois lados:
Logo
Tomando logaritmo natural:
portanto
e finalmente
Observação prática: também se pode escrever
, porque
.
Passo 5
Calcular numericamente usando
anos.
Primeiro a constante de decaimento:
Primeiro a constante de decaimento:
Faço a divisão
. Então
Passo 6
Agora calculo
:
Faço a divisão:
Ou usando a forma com meia-vida:
o que bate com o valor anterior.
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: o resultado diz que, se hoje há tantas átomos de argônio quanto de potássio e se apenas 1/9 das desintegrações produziram argônio, então a fração de potássio que restou é
, ou seja
do potássio inicial permanece — isso faz sentido com a equação que montamos. O tempo obtido é da ordem de bilhões de anos, compatível com escalas geológicas/lunares.