Em uma certa rocha lunar constatou-se conter igual número de átomos de potássio e de argônio. Assuma que todo o argônio é o resultado do decaimento radiativo do potássio (sua meia-vida é algo como 1,28 \times 10^{\circ} anos) e que uma em cada nove desintegraçőes de átomo de potássio fornece um átomo de argônio. Qual a idade da rocha, medida desde o tempo em que ela continha apenas potássio?

Passo 1

O enunciado diz que, atualmente, a rocha contém igual número de átomos de potássio e de argônio. As informações relevantes são:
  • Todo o argônio presente veio do decaimento do potássio.
  • A meia-vida do potássio é T_{1/2}=1,28\times10^{9} anos (assumo esse valor, que é o indicado pelo enunciado).
  • Em cada nove desintegrações de potássio, apenas uma produz um átomo de argônio; ou seja, a fração das desintegrações que geram argônio é f=\dfrac{1}{9}.
    A pergunta é: qual é a idade t da rocha desde que ela continha somente potássio?

Passo 2

Modelo físico-matemático (lei do decaimento radioativo).
Quando uma substância radioativa decai, o número de átomos que resta decresce exponencialmente. A fórmula básica é
N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},
onde:
  • N_{0} é o número inicial de átomos (aqui, todo potássio no tempo zero),
  • N(t) é o número de átomos de potássio que restam no tempo t,
  • \lambda é a constante de decaimento (unidade: ano ^{-1}),
  • t é o tempo passado (anos).
    A meia-vida T_{1/2} está ligada a \lambda por
\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Vou explicar: meia-vida é o tempo que leva para metade dos átomos desaparecerem; portanto N(T_{1/2})=N_{0}/2. Substituindo na lei exponencial obtém-se \exp(-\lambda T_{1/2})=1/2, daí \lambda T_{1/2}=\ln 2.

Passo 3

Contagem de átomos após tempo t.
  • Número de átomos de potássio que restam: \;N_{K}(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.
  • Número de átomos de potássio que decaíram até t: \;D(t)=N_{0}-N_{K}(t)=N_{0}\bigl(1-e^{-\lambda t}\bigr).
    Como só uma em cada nove desintegrações produz argônio, o número de átomos de argônio formados é
N_{\text{Ar}}(t)=\dfrac{1}{9}\,D(t)=\dfrac{1}{9}\,N_{0}\bigl(1-e^{-\lambda t}\bigr).

Passo 4

Usar a condição do enunciado (quantidades iguais agora).
O enunciado afirma N_{K}(t)=N_{\text{Ar}}(t). Substituindo as expressões:
N_{0}e^{-\lambda t}=\dfrac{1}{9}\,N_{0}\bigl(1-e^{-\lambda t}\bigr).
Cancelei N_{0} (não é zero) e resolvo para e^{-\lambda t}:
e^{-\lambda t}=\dfrac{1}{9}\bigl(1-e^{-\lambda t}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 9:
9e^{-\lambda t}=1-e^{-\lambda t}.
Somando e^{-\lambda t} aos dois lados:
10e^{-\lambda t}=1.
Logo
e^{-\lambda t}=\dfrac{1}{10}.
Tomando logaritmo natural:
-\lambda t=\ln\!\left(\dfrac{1}{10}\right)=-\ln 10,
portanto
\lambda t=\ln 10
e finalmente
t=\dfrac{\ln 10}{\lambda}.
Observação prática: também se pode escrever t=\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\,T_{1/2}, porque \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}.

Passo 5

Calcular numericamente usando T_{1/2}=1,28\times10^{9} anos.
Primeiro a constante de decaimento:
\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0,693147\ldots}{1,28\times10^{9}}\\ \text{ano}^{-1} =\dfrac{0,693147}{1,28}\times10^{-9}\\ \text{ano}^{-1}.
Faço a divisão 0,693147/1,28\approx0,541491. Então
\lambda\approx 0,541491\times10^{-9}\\ \text{ano}^{-1}=5,41491\times10^{-10}\\ \text{ano}^{-1}.

Passo 6

Agora calculo t:
t=\dfrac{\ln 10}{\lambda}=\dfrac{2,302585\ldots}{5,41491\times10^{-10}}\\ \text{anos}.
Faço a divisão:
t\approx 4,2519\times10^{9}\\ \text{anos}.
Ou usando a forma com meia-vida:
t=\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\,T_{1/2}\approx 3,321928\cdot(1,28\times10^{9})\approx4,2519\times10^{9}\\ \text{anos},
o que bate com o valor anterior.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o resultado diz que, se hoje há tantas átomos de argônio quanto de potássio e se apenas 1/9 das desintegrações produziram argônio, então a fração de potássio que restou é e^{-\lambda t}=1/10, ou seja 10\% do potássio inicial permanece — isso faz sentido com a equação que montamos. O tempo obtido é da ordem de bilhões de anos, compatível com escalas geológicas/lunares.

Resposta

4,25\times10^{9} anos

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