(Juro continuamente composto) Na ocasião do nascimento de um primeiro bebê um casal depositou
5.000
8 %$ (ao ano) de juros continuamente compostos. Permite-se acumular os pagamentos de juros. Quanto terá a caderneta no décimo oitavo aniversário da criança?
Passo 1
O enunciado diz que no nascimento do primeiro bebê o casal depositou
numa caderneta que rende
ao ano com juros continuamente compostos e permite acumular os juros. A pergunta é: quanto haverá na caderneta no décimo oitavo aniversário da criança? \n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede:
- O valor acumulado após
anos, isto é, o montante final.
Passo 2
Entendendo a fórmula de juros continuamente compostos (aulas rápidas e úteis). Quando juros são compostos continuamente, o montante
após tempo
é dado pela fórmula
onde:
-
é o depósito inicial (principal); -
é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui por ano), escrita em decimal; -
é o tempo (em anos); -
é a base do logaritmo natural, um número irracional aproximadamente igual a , que aparece quando fazemos o limite do processo de capitalização a cada vez mais subdivisões do ano.
Por que essa fórmula faz sentido (intuição curta): se você capitaliza n vezes por ano com taxa
, cada parcela tem taxa
e após
anos o montante é
Fazendo
(capitalização contínua) temos
o que leva à fórmula
. Não precisa decorar a derivação inteira na prova, mas lembre que
é o fator de crescimento contínuo.
Passo 3
Agora aplicamos os números do enunciado na fórmula. Substituindo
,
e
:
Passo 4
Calculamos o produto no expoente:
Portanto
Passo 5
Precisamos estimar
. Uma forma prática (sem depender de calculadora científica complexa) é separar o expoente:
Sabemos que
. Para
podemos usar a expansão em série (suficiente para boa precisão):
com
. Calculando alguns termos:
Somando os termos até aqui:
Agora multiplicamos por
:
Passo 6
Finalmente calculamos o montante:
Arredondando para centavos (duas casas decimais), temos
.