(Juro continuamente composto) Na ocasião do nascimento de um primeiro bebê um casal depositou \ 5.000 numa caderneta de poupança que rendeç8 %$ (ao ano) de juros continuamente compostos. Permite-se acumular os pagamentos de juros. Quanto terá a caderneta no décimo oitavo aniversário da criança?

Passo 1

O enunciado diz que no nascimento do primeiro bebê o casal depositou \$5.000 numa caderneta que rende 8\% ao ano com juros continuamente compostos e permite acumular os juros. A pergunta é: quanto haverá na caderneta no décimo oitavo aniversário da criança? \n
Informações dadas:
\text{Depósito inicial }P=\$5.000ó
\text{Taxa anual }r=8\%=0,08
\text{Tempo }t=18\text{ anos}
O que se pede:
  • O valor acumulado após 18 anos, isto é, o montante final.

Passo 2

Entendendo a fórmula de juros continuamente compostos (aulas rápidas e úteis). Quando juros são compostos continuamente, o montante A após tempo t é dado pela fórmula
A = P e^{rt},
onde:
  • P é o depósito inicial (principal);
  • r é a taxa de juros por unidade de tempo (aqui por ano), escrita em decimal;
  • t é o tempo (em anos);
  • e é a base do logaritmo natural, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828\ldots, que aparece quando fazemos o limite do processo de capitalização a cada vez mais subdivisões do ano.
Por que essa fórmula faz sentido (intuição curta): se você capitaliza n vezes por ano com taxa r, cada parcela tem taxa r/n e após t anos o montante é
P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}.
Fazendo n\to\infty (capitalização contínua) temos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=e^{rt},
o que leva à fórmula A=P e^{rt}. Não precisa decorar a derivação inteira na prova, mas lembre que e^{rt} é o fator de crescimento contínuo.

Passo 3

Agora aplicamos os números do enunciado na fórmula. Substituindo P=\$5.000, r=0,08 e t=18:
A = 5.000\;e^{0,08\cdot 18}.

Passo 4

Calculamos o produto no expoente:
0,08\cdot 18 = 1,44.
Portanto
A = 5.000\;e^{1,44}.

Passo 5

Precisamos estimar e^{1,44}. Uma forma prática (sem depender de calculadora científica complexa) é separar o expoente:
e^{1,44}=e^{1}\cdot e^{0,44}=e\cdot e^{0,44}.
Sabemos que e\approx 2,718281828. Para e^{0,44} podemos usar a expansão em série (suficiente para boa precisão):
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots
com x=0,44. Calculando alguns termos:
x=0,44
\frac{x^{2}}{2}=\frac{0,44^{2}}{2}=\frac{0,1936}{2}=0,0968
\frac{x^{3}}{6}=\frac{0,44^{3}}{6}=\frac{0,085184}{6}\approx 0,0141973
\frac{x^{4}}{24}\approx\frac{0,037481}{24}\approx 0,0015617
\frac{x^{5}}{120}\approx 0,0001374
Somando os termos até aqui:
e^{0,44}\approx 1 + 0,44 + 0,0968 + 0,0141973 + 0,0015617 + 0,0001374 \approx 1,5526964.
Agora multiplicamos por e:
e^{1,44}\approx 2,718281828\times 1,5526964 \approx 4,2206958.

Passo 6

Finalmente calculamos o montante:
A \approx 5.000 \times 4,2206958 \approx 21.103,479.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), temos A\approx\$21.103,48.

Resposta

\$21.103,48

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