(Crescimento populacional) Uma certa cidade tinha Uma população de 25.000 em 1960 e uma população de 30.000 em 1970 . Assuma que sua população continuará a crescer exponencialmente a uma taxa constante. Que população podem seus planejadores urbanos esperar para o ano 2000?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • População em 1960: \,25.000.
  • População em 1970: \,30.000.
  • Pressuposto: a população cresce exponencialmente a uma taxa constante.
  • Pergunta: qual população esperar para o ano 2000?
Esses são todos os dados do problema e o que precisamos encontrar. Nada mais será assumido.

Passo 2

Escolhendo um modelo matemático adequado ao enunciado: para crescimento exponencial contínuo usamos a fórmula
P(t)=P_0 e^{r t},
onde:
  • P(t) é a população no instante t (em anos),
  • P_0 é a população na data de referência (quando t=0),
  • r é a taxa de crescimento contínua por ano (número real),
  • t é o tempo em anos contado a partir da referência.
Aqui é conveniente tomar como referência o ano de 1960, isto é:
  • definimos t=0 em 1960,
  • então P_0 = 25.000,
  • em 1970 temos t=10 e P(10)=30.000,
  • em 2000 teremos t=40 e queremos P(40).

Passo 3

Usamos os dados de 1960 e 1970 para determinar a taxa r. Substituindo na fórmula para t=10:
30.000 = 25.000 \, e^{10 r}.
Agora isolamos e^{10 r} dividindo por 25.000:
e^{10 r} = \frac{30.000}{25.000} = 1,2.

Passo 4

Para obter r tomamos o logaritmo natural dos dois lados. Lembrando que \ln(e^{10 r})=10 r, temos:
10 r = \ln(1,2).
Portanto
r = \frac{\ln(1,2)}{10}.
Numericamente, \ln(1,2)\approx 0,1823216, então
r \approx \frac{0,1823216}{10} \approx 0,01823216.
Isto significa uma taxa aproximada de 1,823\% ao ano em termos contínuos.

Passo 5

Agora calculamos a população em 2000, isto é P(40). Pela fórmula:
P(40)=25.000 \, e^{40 r}.
Usando a relação e^{40 r}=(e^{10 r})^{4} e que e^{10 r}=1,2, obtemos
P(40)=25.000 \cdot (1,2)^{4}.
Calculamos passo a passo:
(1,2)^{2}=1,44,
(1,2)^{4}=(1,44)^{2}=2,0736.
Logo
P(40)=25.000 \cdot 2,0736 = 25.000\cdot 2 + 25.000\cdot 0,0736 = 50.000 + 1.840 = 51.840.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: o modelo prevê que a população em 2000 será aproximadamente \,51.840 pessoas. Em contextos práticos arredondamos para a pessoa inteira mais próxima, pois não faz sentido ter fração de pessoa.

Resposta

51.840 pessoas

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