(Crescimento populacional) Uma certa cidade tinha Uma população de 25.000 em 1960 e uma população de 30.000 em 1970 . Assuma que sua população continuará a crescer exponencialmente a uma taxa constante. Que população podem seus planejadores urbanos esperar para o ano 2000?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- População em 1960:
. - População em 1970:
. - Pressuposto: a população cresce exponencialmente a uma taxa constante.
- Pergunta: qual população esperar para o ano 2000?
Esses são todos os dados do problema e o que precisamos encontrar. Nada mais será assumido.
Passo 2
Escolhendo um modelo matemático adequado ao enunciado: para crescimento exponencial contínuo usamos a fórmula
onde:
-
é a população no instante (em anos), -
é a população na data de referência (quando ), -
é a taxa de crescimento contínua por ano (número real), -
é o tempo em anos contado a partir da referência.
Aqui é conveniente tomar como referência o ano de 1960, isto é:
- definimos
em 1960, - então
, - em 1970 temos
e , - em 2000 teremos
e queremos .
Passo 3
Usamos os dados de 1960 e 1970 para determinar a taxa
. Substituindo na fórmula para
:
Agora isolamos
dividindo por
:
Passo 4
Para obter
tomamos o logaritmo natural dos dois lados. Lembrando que
, temos:
Portanto
Numericamente,
, então
Isto significa uma taxa aproximada de
ao ano em termos contínuos.
Passo 5
Agora calculamos a população em 2000, isto é
. Pela fórmula:
Usando a relação
e que
, obtemos
Calculamos passo a passo:
Logo
Passo 6
Interpretação e arredondamento: o modelo prevê que a população em 2000 será aproximadamente
pessoas. Em contextos práticos arredondamos para a pessoa inteira mais próxima, pois não faz sentido ter fração de pessoa.