Certa sistema recebe, em média, 8 requisições por hora.
Qual a probabilidade dele receber pelo menos 5 requisições na próxima hora?

Passo 1

O enunciado dá que, em média, o sistema recebe \lambda=8 requisições por hora e pede a probabilidade de ele receber pelo menos 5 requisições na próxima hora.
Informações relevantes:
  • Taxa média por hora: \lambda=8.
  • Evento pedido: "pelo menos 5" ou seja X\ge 5, onde X é o número de requisições na próxima hora.

Passo 2

Qual modelo usar? Quando contamos ocorrências que acontecem de forma independente em intervalos de tempo, com uma taxa média conhecida \lambda, o modelo clássico é a distribuição de Poisson. Aqui temos exatamente isso: número de requisições num intervalo (uma hora) com média \lambda=8. Então modelamos X como Poisson com parâmetro \lambda=8:
X \sim \text{Poisson}(\lambda=8).

Passo 3

Fórmula da Poisson e explicação das partes: para um inteiro k\ge 0,
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k requisições.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. e\approx 2,71828).
  • \lambda é a média esperada de eventos no intervalo (aqui \lambda=8).
  • k! (fatorial de k) é k\cdot (k-1)\cdot\ldots\cdot 1 e por convenção 0!=1.
    Na prova, decore essa fórmula e saiba que ela vale para contagens de eventos raros/independentes por intervalo.

Passo 4

Estratégia prática para "pelo menos 5": é mais fácil calcular o complementar:
\Pr(X\ge 5)=1-\Pr(X\le 4)=1-\sum_{k=0}^{4}\Pr(X=k).
Isso evita somar muitas probabilidades acima de 5. Então vamos calcular \Pr(X=k) para k=0,1,2,3,4 e somar.

Passo 5

Calcular cada termo usando a fórmula. Para evitar recalcular potências e fatoriais do zero, uso recorrência: \Pr(X=k+1)=\Pr(X=k)\cdot\frac{\lambda}{k+1}.
Primeiro, o termo para k=0:
\Pr(X=0)=e^{-8}\frac{8^{0}}{0!}=e^{-8}\approx 0,00033546262790251185\approx 0,0003354626.
Agora aplico a recorrência para obter os próximos termos:
\Pr(X=1)=\Pr(X=0)\cdot\frac{8}{1}=e^{-8}\cdot 8\approx 0,0026837010.
\Pr(X=2)=\Pr(X=1)\cdot\frac{8}{2}=\Pr(X=1)\cdot 4\approx 0,0107348041.
\Pr(X=3)=\Pr(X=2)\cdot\frac{8}{3}\approx 0,0286261442.
\Pr(X=4)=\Pr(X=3)\cdot\frac{8}{4}=\Pr(X=3)\cdot 2\approx 0,0572522885.
(Se preferir, cada um também pode ser obtido diretamente por e^{-8}8^{k}/k!, mas a recorrência é mais rápida e menos propensa a erro manual.)

Passo 6

Somar as probabilidades de k=0 a k=4:
\Pr(X\le 4)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)+\Pr(X=3)+\Pr(X=4) \approx 0,0003354626+0,0026837010+0,0107348041+0,0286261442+0,0572522885.
Fazendo a soma:
\Pr(X\le 4)\approx 0,0996324005.

Passo 7

Agora o complementar nos dá a resposta pedida:
\Pr(X\ge 5)=1-\Pr(X\le 4)\approx 1-0,0996324005\approx 0,9003675995.
Arredondando de forma prática (por exemplo, quatro casas decimais) obtemos 0,9004. Na prova, indique o número de casas decimais que o professor pedir; se for permitido usar calculadora, você pode dar mais casas.

Resposta

0,90037

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