Certa sistema recebe, em média, 8 requisições por hora.
Qual a probabilidade dele receber pelo menos 5 requisições na próxima hora?
Qual a probabilidade dele receber pelo menos 5 requisições na próxima hora?
Passo 1
O enunciado dá que, em média, o sistema recebe
requisições por hora e pede a probabilidade de ele receber pelo menos
requisições na próxima hora.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Taxa média por hora:
. - Evento pedido: "pelo menos
" ou seja , onde é o número de requisições na próxima hora.
Passo 2
Qual modelo usar? Quando contamos ocorrências que acontecem de forma independente em intervalos de tempo, com uma taxa média conhecida
, o modelo clássico é a distribuição de Poisson. Aqui temos exatamente isso: número de requisições num intervalo (uma hora) com média
. Então modelamos
como Poisson com parâmetro
:
Passo 3
Fórmula da Poisson e explicação das partes: para um inteiro
,
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente requisições. -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é a média esperada de eventos no intervalo (aqui ). -
(fatorial de ) é e por convenção .
Na prova, decore essa fórmula e saiba que ela vale para contagens de eventos raros/independentes por intervalo.
Passo 4
Estratégia prática para "pelo menos
": é mais fácil calcular o complementar:
Isso evita somar muitas probabilidades acima de
. Então vamos calcular
para
e somar.
Passo 5
Calcular cada termo usando a fórmula. Para evitar recalcular potências e fatoriais do zero, uso recorrência:
.
Primeiro, o termo para
:
Agora aplico a recorrência para obter os próximos termos:
(Se preferir, cada um também pode ser obtido diretamente por
, mas a recorrência é mais rápida e menos propensa a erro manual.)
Passo 6
Somar as probabilidades de
a
:
Fazendo a soma:
Passo 7
Agora o complementar nos dá a resposta pedida:
Arredondando de forma prática (por exemplo, quatro casas decimais) obtemos
. Na prova, indique o número de casas decimais que o professor pedir; se for permitido usar calculadora, você pode dar mais casas.