Uma ferramenta de busca procura por uma palavra-chave em uma sequência de websites de forma independente. Acredita-se que 30 \% deles possuem esta palavra-chave.
Qual a probabilidade de pelo menos 5 dos 10 primeiros websites visitados possuírem a palavra-chave?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: a busca em cada website é independente e a probabilidade de um website conter a palavra-chave é 30\%, ou seja p=0,3.
  • Informação: vamos olhar somente os 10 primeiros websites visitados, ou seja n=10.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que pelo menos 5 dos 10 primeiros websites possuam a palavra-chave? Ou seja, queremos calcular \Pr(X \ge 5), onde X é o número de websites com a palavra-chave entre os 10 analisados.

Passo 2

Modelo adequado (conceito): quando temos um número fixo n de ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui: conter a palavra-chave), e queremos a probabilidade de um certo número k de sucessos, usamos a distribuição binomial. A variável aleatória X que conta o número de sucessos segue
X \sim \text{Binomial}(n,p).
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} (“n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher quais k ensaios são sucessos e é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n=10, p=0,3 e 1-p=0,7. Não vamos calcular todos os \binom{10}{k} via fatoriais longos: conhecemos os valores úteis
\binom{10}{0}=1,\quad \binom{10}{1}=10,\quad \binom{10}{2}=45,\quad \binom{10}{3}=120,\quad \binom{10}{4}=210.

Passo 3

Estratégia prática: calcular \Pr(X\ge5) diretamente somando de k=5 a 10 é possível, mas mais simples usar o complementar:
\Pr(X\ge5)=1-\Pr(X\le4)=1-\sum_{k=0}^{4}\Pr(X=k).
Vou calcular \Pr(X=k) para k=0,1,2,3,4 e somar.

Passo 4

Cálculo termo a termo. Vou calcular as potências de 0,7 e 0,3 necessárias e depois cada \Pr(X=k).
  • Primeiro calcule as potências de 0,7 que aparecem: 0,7^{10}\approx 0,0282475249,
0,7^{9}=\frac{0,7^{10}}{0,7}\approx 0,0403536070,
0,7^{8}\approx 0,05764801,
0,7^{7}\approx 0,0823543,
0,7^{6}\approx 0,117649.
  • Agora calcule as potências de 0,3 necessárias:
    0,3^{0}=1,\quad 0,3^{1}=0,3,\quad 0,3^{2}=0,09,\quad 0,3^{3}=0,027,\quad 0,3^{4}=0,0081.
  • Termo k=0:
    \Pr(X=0)=\binom{10}{0}0,3^{0}0,7^{10}=1\cdot 1\cdot 0,7^{10}\approx 0,0282475249.
  • Termo k=1:
    \Pr(X=1)=\binom{10}{1}0,3^{1}0,7^{9}=10\cdot 0,3\cdot 0,7^{9}\approx 10\cdot 0,3\cdot 0,0403536070\approx 0,121060821.
  • Termo k=2:
    \Pr(X=2)=\binom{10}{2}0,3^{2}0,7^{8}=45\cdot 0,09\cdot 0,05764801\approx 45\cdot 0,0051883209\approx 0,2334744405.
  • Termo k=3:
    \Pr(X=3)=\binom{10}{3}0,3^{3}0,7^{7}=120\cdot 0,027\cdot 0,0823543\approx 120\cdot 0,002223565\approx 0,26682792.
  • Termo k=4:
    \Pr(X=4)=\binom{10}{4}0,3^{4}0,7^{6}=210\cdot 0,0081\cdot 0,117649\approx 210\cdot 0,0009529569\approx 0,200120949.

Passo 5

Somar os termos k=0 até 4 para obter \Pr(X\le4) e depois subtrair de 1:
\Pr(X\le4)\approx 0,028247525+0,121060821+0,233474441+0,26682792+0,200120949\approx 0,849731656.
Logo
\Pr(X\ge5)=1-\Pr(X\le4)\approx 1-0,849731656\approx 0,150268344.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: a probabilidade pedida é aproximadamente 0,1503, ou seja cerca de 15,03\%. É uma chance relativamente baixa — faz sentido porque a média esperada é n p=10\cdot 0,3=3, então obter pelo menos 5 é acima da média.

Resposta

0,1503

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