Uma ferramenta de busca procura por uma palavra-chave em uma sequência de websites de forma independente. Acredita-se que
deles possuem esta palavra-chave.
Qual a probabilidade de pelo menos 5 dos 10 primeiros websites visitados possuírem a palavra-chave?
Qual a probabilidade de pelo menos 5 dos 10 primeiros websites visitados possuírem a palavra-chave?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação: a busca em cada website é independente e a probabilidade de um website conter a palavra-chave é
, ou seja . - Informação: vamos olhar somente os
primeiros websites visitados, ou seja . - Pergunta: qual a probabilidade de que pelo menos
dos primeiros websites possuam a palavra-chave? Ou seja, queremos calcular , onde é o número de websites com a palavra-chave entre os analisados.
Passo 2
Modelo adequado (conceito): quando temos um número fixo
de ensaios independentes, cada um com probabilidade
de “sucesso” (aqui: conter a palavra-chave), e queremos a probabilidade de um certo número
de sucessos, usamos a distribuição binomial. A variável aleatória
que conta o número de sucessos segue
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é
onde
(“n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher quais
ensaios são sucessos e é dado por
Aqui
,
e
. Não vamos calcular todos os
via fatoriais longos: conhecemos os valores úteis
Passo 3
Estratégia prática: calcular
diretamente somando de
a
é possível, mas mais simples usar o complementar:
Vou calcular
para
e somar.
Passo 4
Cálculo termo a termo. Vou calcular as potências de
e
necessárias e depois cada
.
- Primeiro calcule as potências de
que aparecem:
-
Agora calcule as potências de
necessárias: -
Termo
: -
Termo
: -
Termo
: -
Termo
: -
Termo
:
Passo 5
Somar os termos
até
para obter
e depois subtrair de
:
Logo
Passo 6
Interpretação e arredondamento: a probabilidade pedida é aproximadamente
, ou seja cerca de
. É uma chance relativamente baixa — faz sentido porque a média esperada é
, então obter pelo menos
é acima da média.