A rede de um laboratório com 20 computadores recebeu ataque de vírus de computador. O vírus entra em cada computador com probabilidade 0.3 independente dos demais computadores. Qual a probabilidade do vírus entrar em pelo menos 10 computadores?
Passo 1
O enunciado dá que há
computadores e que cada um é infectado com probabilidade
de forma independente. Pergunta: qual a probabilidade de o vírus entrar em pelo menos
computadores?
Informações relevantes:
- Número de ensaios:
. - Probabilidade de sucesso (um computador ser infectado):
. - Probabilidade de insucesso:
. - Variável aleatória de interesse:
número de computadores infectados. - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): quando temos
ensaios independentes, cada um com probabilidade
de “sucesso”, o número total de sucessos
tem distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
ensaios deram sucesso. A interpretação de
é: “quantas subamostras de tamanho
posso formar a partir de
elementos” e a fórmula prática é
Aqui
. Não precisa decorar além disso — a ideia é entender que a probabilidade para cada
é combinatória vezes a chance de cada arranjo.
Passo 3
Escolha do método: calcular
somando
para
até
daria
termos; é equivalente e mais prático usar o complementar:
Vou calcular os termos
para
e somá-los. Para facilitar as contas à mão, vamos usar uma relação de recorrência entre
e
.
Passo 4
Derivando a relação de recorrência (super útil para fazer várias probabilidades rapidamente): a razão entre dois termos consecutivos é
Isto significa que, se eu conhecer
, obtenho
multiplicando por
. No nosso caso
e
, logo
.
Começamos por
:
Vou calcular os termos usando a recorrência. Para facilitar a leitura das contas, apresento fator multiplicador em forma de fração quando possível.
Passo 5
Cálculo passo a passo de
para
(cada linha mostra o multiplicador usado):
-
-
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador . -
Para
: multiplicador .
Observação sobre as aproximações: usei arredondamentos controlados em cada passo, mantendo precisão suficiente para a soma final (pelo menos 4–5 casas decimais corretas).
Passo 6
Agora somamos as probabilidades de
até
para obter o complementar:
Somando os valores aproximados:
Portanto
Como verificação rápida e intuitiva: a média de
é
e o desvio padrão é
. Pedir pelo menos
é um pouco acima da média (cerca de
desvios), logo esperar uma probabilidade pequena na casa dos poucos por cento faz sentido; nosso valor
está coerente com essa intuição e com a aproximação normal com correção de continuidade.