A rede de um laboratório com 20 computadores recebeu ataque de vírus de computador. O vírus entra em cada computador com probabilidade 0.3 independente dos demais computadores. Qual a probabilidade do vírus entrar em pelo menos 10 computadores?

Passo 1

O enunciado dá que há 20 computadores e que cada um é infectado com probabilidade 0,3 de forma independente. Pergunta: qual a probabilidade de o vírus entrar em pelo menos 10 computadores?
Informações relevantes:
  • Número de ensaios: n=20.
  • Probabilidade de sucesso (um computador ser infectado): p=0,3.
  • Probabilidade de insucesso: q=1-p=0,7.
  • Variável aleatória de interesse: X= número de computadores infectados.
  • Objetivo: calcular \Pr(X\ge 10).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): quando temos n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso”, o número total de sucessos X tem distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso. A interpretação de \binom{n}{k} é: “quantas subamostras de tamanho k posso formar a partir de n elementos” e a fórmula prática é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Não precisa decorar além disso — a ideia é entender que a probabilidade para cada k é combinatória vezes a chance de cada arranjo.

Passo 3

Escolha do método: calcular \Pr(X\ge 10) somando \Pr(X=k) para k=10 até 20 daria 11 termos; é equivalente e mais prático usar o complementar:
\Pr(X\ge 10)=1-\Pr(X\le 9)=1-\sum_{k=0}^{9}\Pr(X=k).
Vou calcular os termos \Pr(X=k) para k=0,1,\dots,9 e somá-los. Para facilitar as contas à mão, vamos usar uma relação de recorrência entre \Pr(X=k) e \Pr(X=k+1).

Passo 4

Derivando a relação de recorrência (super útil para fazer várias probabilidades rapidamente): a razão entre dois termos consecutivos é
\frac{\Pr(X=k+1)}{\Pr(X=k)} =\frac{\binom{n}{k+1}p^{k+1}q^{n-k-1}}{\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}} =\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{q}.
Isto significa que, se eu conhecer \Pr(X=k), obtenho \Pr(X=k+1) multiplicando por \dfrac{n-k}{k+1}\cdot\dfrac{p}{q}. No nosso caso p=\dfrac{3}{10} e q=\dfrac{7}{10}, logo \dfrac{p}{q}=\dfrac{3}{7}.
Começamos por k=0:
\Pr(X=0)=q^{20}=\left(\dfrac{7}{10}\right)^{20}.
Vou calcular os termos usando a recorrência. Para facilitar a leitura das contas, apresento fator multiplicador em forma de fração quando possível.

Passo 5

Cálculo passo a passo de \Pr(X=k) para k=0,\dots,9 (cada linha mostra o multiplicador usado):
  • \Pr(X=0)=\left(\dfrac{7}{10}\right)^{20}\approx 0,00079792266.
  • Para k=0\to1: multiplicador =\dfrac{20}{1}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{60}{7}.
    \Pr(X=1)=\Pr(X=0)\cdot\dfrac{60}{7}\approx 0,00683933708.
  • Para k=1\to2: multiplicador =\dfrac{19}{2}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{57}{14}.
    \Pr(X=2)\approx 0,02784587242.
  • Para k=2\to3: multiplicador =\dfrac{18}{3}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{18}{7}.
    \Pr(X=3)\approx 0,07160367192.
  • Para k=3\to4: multiplicador =\dfrac{17}{4}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{51}{28}.
    \Pr(X=4)\approx 0,13042100000.
  • Para k=4\to5: multiplicador =\dfrac{16}{5}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{48}{35}.
    \Pr(X=5)\approx 0,17886308500.
  • Para k=5\to6: multiplicador =\dfrac{15}{6}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{15}{14}.
    \Pr(X=6)\approx 0,19163902000.
  • Para k=6\to7: multiplicador =\dfrac{14}{7}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{6}{7}.
    \Pr(X=7)\approx 0,16426116000.
  • Para k=7\to8: multiplicador =\dfrac{13}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{39}{56}.
    \Pr(X=8)\approx 0,11439590000.
  • Para k=8\to9: multiplicador =\dfrac{12}{9}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}.
    \Pr(X=9)\approx 0,06536913770.
Observação sobre as aproximações: usei arredondamentos controlados em cada passo, mantendo precisão suficiente para a soma final (pelo menos 4–5 casas decimais corretas).

Passo 6

Agora somamos as probabilidades de k=0 até 9 para obter o complementar:
\Pr(X\le 9)=\sum_{k=0}^{9}\Pr(X=k)\approx
Somando os valores aproximados:
0,00079792266+0,00683933708+0,02784587242+0,07160367192+0,13042100000
+0,17886308500+0,19163902000+0,16426116000+0,11439590000+0,06536913770 \approx 0,9520359467.
Portanto
\Pr(X\ge 10)=1-\Pr(X\le 9)\approx 1-0,9520359467\approx 0,0479640533.
Como verificação rápida e intuitiva: a média de X é \mathbb{E}[X]=np=20\cdot0,3=6 e o desvio padrão é \sqrt{npq}\approx2,05. Pedir pelo menos 10 é um pouco acima da média (cerca de 1,95 desvios), logo esperar uma probabilidade pequena na casa dos poucos por cento faz sentido; nosso valor \approx0,048 está coerente com essa intuição e com a aproximação normal com correção de continuidade.

Resposta

0,04796

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