Calcular a probabilidade de o sistema gastar entre 1 e 2 minutos (ou seja, P(1\le X \le 2)).
Informações relevantes: a função é uma densidade válida no intervalo 0<x<10 (fora desse intervalo vale 0).]
Passo 2
Conceito necessário: para que f seja uma densidade de probabilidade, a área total sob a curva deve ser 1. Isso significa
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de (0,10), basta impor
\int_{0}^{10} C(10-x)^{2}\,dx = 1.
Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Podemos expandir o quadrado para facilitar a integração:
P(1\le X \le 2)=\frac{3}{1000}\cdot \frac{217}{3} = \frac{217}{1000}.
Em forma decimal (usando vírgula conforme convenção): 0,217.
Passo 5
Resumo final e interpretação rápida: a constante C normaliza a área total para 1. A probabilidade entre 1 e 2 minutos saiu relativamente grande (21,7\%), o que é coerente porque a densidade é maior quando x é pequeno (já que depende de (10-x)^{2}) — eu sei que isso assusta no começo, mas seguimos a regra da integral e deu certinho. Força aí!
Resposta
C=\dfrac{3}{1000}=0,003 P(1\le X \le 2)=\dfrac{217}{1000}=0,217