O tempo, em minutos, gasto para certo sistema reiniciar é uma variável contínua com a densidade
f(x)= \begin{cases}C(10-x)^{2} & \text { se } 0<x<10 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}á
Calcule C e a probabilidade do sistema gastar entre 1 a 2 minutos para ser reiniciado.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade da variável contínua “tempo de reinício” por:
f(x)= \begin{cases}C(10-x)^{2} & \text{se } 0<x<10 \\[4pt] 0 & \text{caso contrário} \end{cases}á
As perguntas são:
  1. Calcular C.
  2. Calcular a probabilidade de o sistema gastar entre 1 e 2 minutos (ou seja, P(1\le X \le 2)).
    Informações relevantes: a função é uma densidade válida no intervalo 0<x<10 (fora desse intervalo vale 0).]

Passo 2

Conceito necessário: para que f seja uma densidade de probabilidade, a área total sob a curva deve ser 1. Isso significa
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de (0,10), basta impor
\int_{0}^{10} C(10-x)^{2}\,dx = 1.
Agora vamos calcular essa integral passo a passo. Podemos expandir o quadrado para facilitar a integração:
(10-x)^{2} = 100 - 20x + x^{2}.
Logo
\int_{0}^{10} C(10-x)^{2}\,dx = C\int_{0}^{10} (100 - 20x + x^{2})\,dx.
Integramos termo a termo (vou mostrar cada antiderivada):
\int 100\,dx = 100x,
\int (-20x)\,dx = -10x^{2},
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Avaliar de 0 a 10:
\int_{0}^{10} (100 - 20x + x^{2})\,dx = \Big[100x -10x^{2} + \frac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{10}.
Calculemos em x=10:
100\cdot 10 -10\cdot 10^{2} + \frac{10^{3}}{3} = 1000 -1000 + \frac{1000}{3} = \frac{1000}{3}.
Em x=0 0. Portanto a integral é \dfrac{1000}{3}. Impor normalização:
C\cdot \frac{1000}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad C = \frac{3}{1000}.

Passo 3

Verificação rápida (mental): \dfrac{3}{1000}=0,003. Faz sentido como constante de escala positiva pequena.

Passo 4

Agora calculamos a probabilidade pedida:
P(1\le X \le 2)=\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} C(10-x)^{2}\,dx.
Substituímos C=\dfrac{3}{1000}:
P(1\le X \le 2)=\frac{3}{1000}\int_{1}^{2} (10-x)^{2}\,dx.
Para calcular a integral é prático usar a mudança de variável u=10-x. Então du=-dx. Quando x=1, u=9. Quando x=2, u=8. Assim
\int_{1}^{2} (10-x)^{2}\,dx = \int_{u=9}^{8} u^{2}(-du) = \int_{8}^{9} u^{2}\,du.
Agora a antiderivada de u^{2} é \dfrac{u^{3}}{3}, então
\int_{8}^{9} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{8}^{9} = \frac{9^{3}-8^{3}}{3} = \frac{729-512}{3} = \frac{217}{3}.
Portanto
P(1\le X \le 2)=\frac{3}{1000}\cdot \frac{217}{3} = \frac{217}{1000}.
Em forma decimal (usando vírgula conforme convenção): 0,217.

Passo 5

Resumo final e interpretação rápida: a constante C normaliza a área total para 1. A probabilidade entre 1 e 2 minutos saiu relativamente grande ( 21,7\%), o que é coerente porque a densidade é maior quando x é pequeno (já que depende de (10-x)^{2}) — eu sei que isso assusta no começo, mas seguimos a regra da integral e deu certinho. Força aí!

Resposta

C=\dfrac{3}{1000}=0,003
P(1\le X \le 2)=\dfrac{217}{1000}=0,217

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