Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em t=0 é dada por Psi(x)=A e^-x^2 / 4 sigma, onde A e sigma são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real.
(b) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição x=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física quântica onde a função de onda de um elétron é dada por Psi(x) = A e^-x^2 / 4sigma no tempo t=0. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de encontrar o elétron exatamente na posição x=0. Para isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades a partir da função de onda e como normalizar essa função.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição é dada pelo quadrado do módulo da função de onda, ou seja, |Psi(x)|^2. Então, vamos calcular |Psi(x)|^2:
|Psi(x)|^2 = Psi(x) cdot Psi^*(x) = A e^-x^2 / 4sigma cdot A e^-x^2 / 4sigma = A^2 e^-x^2 / 2sigma

Passo 3

Agora, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral de |Psi(x)|^2 em todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^+infty |Psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo |Psi(x)|^2:
A^2 integral-infty^+infty e^-x^2 / 2sigma dx = 1

Passo 4

A integral integral-infty^+infty e^-x^2 / 2sigma dx é uma integral gaussiana conhecida, cujo resultado é raiz2pisigma. Então:
A^2 raiz2pisigma = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 1raiz2pisigma

Passo 5

Finalmente, a probabilidade de encontrar o elétron na posição x=0 é simplesmente |Psi(0)|^2. Substituindo x=0 na expressão de |Psi(x)|^2:
|Psi(0)|^2 = A^2 e^-0 = A^2
Já sabemos que A^2 = 1raiz2pisigma, então:
|Psi(0)|^2 = 1raiz2pisigma

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na posição x=0 é 1raiz2pisigma.

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