Num recipiente com capacidade interna de 1000 mL à temperatura de 20^circ C, é colocado 980 mL de glicerina, também na temperatura de 20^circ C. Em seguida, o conjunto foi aquecido até que, numa determinada temperatura, a glicerina começou a transbordar. Sabendo que o ponto de fusão da glicerina é de 17,8^circ C, e que os coeficientes de dilatação volumétrica do material do recipiente e da glicerina valem, respectivamente, 9 times 10^-5 ^circ C^-1 5 e 5 times 10^-4 ^circ C^-1, qual a temperatura na qual a glicerina começará a transbordar?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um recipiente com capacidade de 1000 mL e está cheio com 980 mL de glicerina, ambos a 20^circ C. Quando a temperatura aumenta, tanto o recipiente quanto a glicerina se expandem. Precisamos calcular a temperatura na qual a glicerina começará a transbordar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação volumétrica, que nos ajuda a entender como materiais expandem com o aumento da temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto espaço a glicerina vai ocupar quando a temperatura aumentar. A fórmula para dilatação volumétrica é:
De
Onde:
  • De é a variação do volume,
  • V0 é o volume inicial,
  • beta é o coeficiente de dilatação volumétrica,
  • De é a variação de temperatura.
Para a glicerina:
  • V0 = 980 , mL,
  • beta = 5 times 10^-4 , ^circ C^-1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a expansão do recipiente. Usamos a mesma fórmula:
De
Onde:
  • Vrecipiente0 = 1000 , mL,
  • betarecipiente = 9 times 10^-5 , ^circ C^-1.

Passo 4

A glicerina começará a transbordar quando a expansão do volume da glicerina for maior que a expansão do recipiente. Ou seja:
De
Substituindo as fórmulas:
980 times 5 times 10^-4 times De

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
980 times 5 times 10^-4 = 1000 times 9 times 10^-5
Calculando os dois lados:
980 times 5 times 10^-4 = 0,49
1000 times 9 times 10^-5 = 0,09
Então:
0,49 times De
Mas isso não faz sentido, então percebemos que na verdade precisamos que a expansão da glicerina exceda o espaço disponível no recipiente.

Passo 6

O espaço disponível para a expansão da glicerina é a diferença entre a capacidade do recipiente e o volume inicial da glicerina:
Deí
Queremos que a expansão da glicerina seja igual a 20 mL:
980 times 5 times 10^-4 times De

Passo 7

Resolvendo para De:
De

Passo 8

Agora, somamos a variação de temperatura à temperatura inicial:
Tfinal = 20^circ C + 40,82^circ C = 60,82^circ C

Resposta

A glicerina começará a transbordar quando a temperatura chegar a aproximadamente 60,82^circ C.

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