Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em t=0 é dada por Psi(x)=A e^-x^2 / 4 sigma, onde A e sigma são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real. Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição x=2 sigma ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular a cena: a função de onda do elétron em Psi(x) = A,e^-x^2/(4sigma) é
onde e são constantes positivas. Não tem paredes prendendo o elétron, ele anda livre na reta. A pergunta é: “Qual é a probabilidade de encontrar o elétron exatamente em ?”
Conteúdo: mecânica quântica básica (função de onda e densidade de probabilidade).
O que precisamos:
  1. A definição de densidade de probabilidade .
  2. Saber que, em variável contínua, a probabilidade de um ponto exato é zero, mas podemos falar da densidade naquele ponto.

Passo 2

Na mecânica quântica, a probabilidade de achar a partícula entre dP = |Psi(x)|^2,dx e rho(x) = |Psi(x)|^2 é
Daí a “densidade de probabilidade” é
Isso significa que a probabilidade de um ponto exato, , é zero. Mas faz sentido falar na densidade .

Passo 3

Vamos calcular Psi(2sigma) = A,e^-(2sigma)^2/(4sigma) = A,e^-4sigma^2/(4sigma) = A,e^-sigma, . Primeiro,
rho(2sigma) = l|Psi(2sigma)r|^2 = A^2,e^-2sigma,
Então

Passo 4

Como eu falei, em contínuo a probabilidade de achar o elétron exatamente no ponto P(x=2sigma) = 0, é
rho(2sigma) = A^2,e^-2sigma
porque . O que não é zero é a densidade naquele ponto, que é

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron exatamente em rho(2sigma) = A^2,e^-2sigma é zero. A densidade de probabilidade naquele ponto é

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