Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional a quantidade de substância presente em cada instante. Se, após uma hora, houve uma redução de 12 % da quantidade inicial, determine o tempo que leva para que a quantidade inicial se reduza à metade.

Passo 1

Enunciado: a quantidade de uma substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora, a quantidade se reduz a 88% do valor inicial (redução de 12%). Vamos usar o modelo de decaimento exponencial para achar a constante de decaimento e depois a meia-vida.

Passo 2

O modelo de decaimento exponencial assume que a taxa instantânea de variação de \ Q(t) \ é proporcional a \ Q(t)\, o que leva à equação diferencial e ao formato da solução:
Q(t)=Q0 e^-k t
onde \ Q_0 \ é a quantidade inicial e \ k \ é a constante de decaimento (>0).

Passo 3

Usando a informação de que após 1 hora a quantidade é 88% de \ Q_0\, temos:
Q(1)Q0=e^-kcdot1=0.88
Daí se isola \ k\:
k=-ln(0.88)

Passo 4

Para encontrar o tempo de meia-vida \ t_{1/2}\, usamos a condição \ Q(t_{1/2})=Q_0/2\, ou seja:
e^-k t1/2=0.5

Passo 5

Isolando \ t_{1/2}\:
t1/2=ln(2)k

Passo 6

Substituindo \ k=-\ln(0.88)\:
t1/2=ln(2)-ln(0.88)approx0.69310.1278approx5.42(horas)

Resposta

A meia-vida é aproximadamente 5,42 horas.

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