Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional a quantidade de substância presente em cada instante. Se, após uma hora, houve uma redução de
da quantidade inicial, determine o tempo que leva para que a quantidade inicial se reduza à metade.
Passo 1
Enunciado: a quantidade de uma substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora, a quantidade se reduz a 88% do valor inicial (redução de 12%). Vamos usar o modelo de decaimento exponencial para achar a constante de decaimento e depois a meia-vida.
Passo 2
O modelo de decaimento exponencial assume que a taxa instantânea de variação de \ Q(t) \ é proporcional a \ Q(t)\, o que leva à equação diferencial e ao formato da solução:
onde \ Q_0 \ é a quantidade inicial e \ k \ é a constante de decaimento (>0).
Passo 3
Usando a informação de que após 1 hora a quantidade é 88% de \ Q_0\, temos:
Daí se isola \ k\:
Passo 4
Para encontrar o tempo de meia-vida \ t_{1/2}\, usamos a condição \ Q(t_{1/2})=Q_0/2\, ou seja:
Passo 5
Isolando \ t_{1/2}\:
Passo 6
Substituindo \ k=-\ln(0.88)\:
Resposta
A meia-vida é aproximadamente 5,42 horas.