Dado o problema de valor inicial
(cos x) y^prime+(sin x) y=3, y(0)=2
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem linear (cos x),y'+(sin x),y=3 com condição inicial y(0)=2. Vamos usar teoria de equações lineares e o teorema de existência e unicidade.

Passo 2

Para aplicar o teorema, precisamos escrever a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x). Como cos x é o coeficiente de y', supondo cos xneq0 dividimos toda a equação por cos x:
y'+tan x,y=3cos x

Passo 3

Aqui temos p(x)=tan x e q(x)=3/cos x. Pelo teorema de existência e unicidade, a solução existe e é única num intervalo que contenha x=0 onde p(x) e q(x) sejam contínuas.

Passo 4

As funções tan x e 1/cos x só são descontínuas quando cos x=0, ou seja em x=tfracpi2+kpi. O ponto inicial é 0, então o maior intervalo aberto ao redor de zero sem singularidades é
(-tfracpi2,,tfracpi2)

Resposta

A solução existe e é única em (-tfracpi2,tfracpi2).

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