Dado o problema de valor inicial
(cos x) y^prime+(sin x) y=3, y(0)=2
Determine a solução do PVI.

Passo 1

A questão apresenta o PVI (valor inicial)
(cos x) y' + (sin x) y = 3, y(0)=2
que é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão y' + p(x)y = g(x). Dividindo tudo por cos x (desde que cos xneq0) obtemos
y' + tan x,y = 3sec x

Passo 3

Em EDO linear, o fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx. Aqui p(x)=tan x e
integral tan x,dx = -ln|cos x| implies mu(x)=e^-ln|cos x|=1cos x

Passo 4

Multiplicamos a EDO padrão por mu(x)=1/cos x, transformando o lado esquerdo em derivada do produto:
1cos xy' + tan xcos xy = 3sec^2 x Longrightarrow l(tfracycos xr)' = 3sec^2 x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ycos x = integral 3sec^2 x,dx = 3tan x + C

Passo 6

Isolando y vem
y(x)=cos x,(3tan x + C)=3sin x + Ccos x

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0)=3sin0 + Ccos0 = C =2
Logo C=2.

Resposta

y(x) = 3,\sin x + 2,\cos x

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