Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função \mathbf{N}(\mathbf{t})=\mathbf{m} .2^{\mathbf{t / 3}}. Nessas condições, determine o tempo necessário para a população ser de 51.200 bactérias.

Passo 1

O enunciado trata de um crescimento exponencial de bactérias que dobra a cada 3 horas, dado por
N(t)=m\cdot 2^{t/3}
com m=100 bactérias iniciais. Queremos encontrar o tempo t tal que N(t)=51200. Para isso, vamos usar propriedades de potências e logaritmos (ou reconhecimento de potências de 2).

Passo 2

Substituímos N(t)=51200 na expressão de N(t), obtendo
100\cdot 2^{t/3}=51200.

Passo 3

Isolamos a potência de base 2 dividindo ambos os lados por 100:
2^{t/3}=\frac{51200}{100}=512.

Passo 4

Reconhecemos que 512=2^9. Logo,
2^{t/3}=2^9
implica
\frac{t}{3}=9.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos
t=9\cdot 3=27.

Resposta

O tempo necessário é de 27 horas.

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