Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se 9 % da massa original. Determine:
a) A massa restante após 12 horas.
b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.

Passo 1

O enunciado descreve um decaimento radioativo em que a quantidade Q(t) satisfaz uma taxa de variação proporcional à própria quantidade. Isso leva à equação diferencial
dQdt=-k,Q,
cuja solução geral é
Q(t)=Q0,e^-k t
Aqui temos Q0=80 mg e, após 2 h, perde-se 9% da massa, ou seja, Q(2)=0,91cdot80. Vamos usar isso para achar k e depois:
a) calcular Q(12);
b) determinar o tempo para Q(t)=tfrac12,Q0.

Passo 2

Para encontrar k usamos
Q(2)=80,e^-2k=0,91cdot80
Dividindo por 80 e aplicando logaritmo natural, obtemos
e^-2k=0,91 Longrightarrow -2k=ln(0,91) Longrightarrow k=-12,ln(0,91)

Passo 3

Agora calculamos a massa após 12 h:
Q(12)=80,e^-12k =80,e^-12l(-tfrac12ln(0,91)r) =80,e^6ln(0,91) =80,(0,91)^6
Numericamente, (0,91)^6approx0,5680, logo
Q(12)approx80times0,5680approx45,44 mg

Passo 4

Para achar o tempo T1/2 em que a massa cai à metade, resolvemos
802=80,e^-kT1/2 Longrightarrow e^-kT1/2=tfrac12 Longrightarrow -kT1/2=ln!l(tfrac12r)
T1/2=-ln(tfrac12)k =ln2k =ln2-tfrac12ln(0,91) =2ln2-ln(0,91)
Como -ln(0,91)approx0,09431 e ln2approx0,6931, segue
T1/2approx2times0,69310,09431approx14,7 h

Resposta

a) Aproximadamente 45,44 mg.
b) Cerca de 14,7 horas.

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