Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se
da massa original. Determine:
a) A massa restante após 12 horas.
b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.
a) A massa restante após 12 horas.
b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.
Passo 1
O enunciado descreve um decaimento radioativo em que a quantidade
satisfaz uma taxa de variação proporcional à própria quantidade. Isso leva à equação diferencial
cuja solução geral é
Aqui temos
mg e, após
h, perde-se
da massa, ou seja,
. Vamos usar isso para achar
e depois:
a) calcular ;
b) determinar o tempo para .
a) calcular
b) determinar o tempo para
Passo 2
Para encontrar
usamos
Dividindo por
e aplicando logaritmo natural, obtemos
Passo 3
Agora calculamos a massa após
h:
Numericamente,
, logo
Passo 4
Para achar o tempo
em que a massa cai à metade, resolvemos
Como
e
, segue
Resposta
a) Aproximadamente
mg.
b) Cerca de horas.
b) Cerca de