Exercício 27. Seja (x0, y0) um ponto de Df. Dizemos que (x0, y0) é um ponto de máximo local de f (respectivamente, ponto de mínimo local) se existe uma bola aberta B de centro (x0, y0) tal que, para todo (x, y) in B cap Df, tem-se
f(x, y) <= f(x0, y0) (respectivamente, f(x, y) >= f(x0, y0) ). Prove que se ( x0, y0 ) é um ponto interior de Df e se f admite derivadas parciais em ( x0, y0 ), então uma condição necessária para que ( x0, y0 ) seja um ponto de máximo local ou de mínimo local é que ( x0, y0 ) seja ponto crítico de f, isto é, que
partial fpartial x(x0, y0)=0 e partial fpartial y(x0, y0)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se fcolon DfsubsetR^2toR tem derivadas parciais em l(x0,y0r) e esse ponto é interior a Df e ainda localmente máximo (ou mínimo), então
partial fpartial x(x0,y0)=0 e partial fpartial y(x0,y0)=0
O conteúdo que vamos usar é a condição necessária de extremos em cálculo de uma variável: se uma função de uma variável tem extremo num ponto interno, sua derivada é zero aí.

Passo 2

Defina a função de uma variável
phi(x)=fl(x,y0r)
Como l(x0,y0r) é ponto interior de Df, existe varepsilon>0 tal que l(x0+h,y0r)in Df para todo |h|<varepsilon. E como l(x0,y0r) é ponto de máximo (ou mínimo) local de f, segue que phi tem máximo (ou mínimo) local em x0.

Passo 3

Pela teoria de funções de uma variável, a condição necessária para phi ter extremo em x0 é
phi'(x0)=0
Mas por definição de derivada parcial,
phi'(x0) =limhto0phi(x0+h)-phi(x0)h =limhto0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h =partial fpartial x(x0,y0)
Logo
partial fpartial x(x0,y0)=0

Passo 4

Analogamente, defina
psi(y)=fl(x0,yr)
Pela mesma razão, psi tem extremo local em y0 e assim
psi'(y0) =partial fpartial y(x0,y0) =0

Resposta

partial fpartial x(x0,y0)=0 e partial fpartial y(x0,y0)=0

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