Exercício 27. Seja
um ponto de
. Dizemos que
é um ponto de máximo local de
(respectivamente, ponto de mínimo local) se existe uma bola aberta
de centro
tal que, para todo
, tem-se
(respectivamente,
). Prove que se (
) é um ponto interior de
e se
admite derivadas parciais em (
), então uma condição necessária para que (
) seja um ponto de máximo local ou de mínimo local é que (
) seja ponto crítico de
, isto é, que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
tem derivadas parciais em
e esse ponto é interior a
e ainda localmente máximo (ou mínimo), então
O conteúdo que vamos usar é a condição necessária de extremos em cálculo de uma variável: se uma função de uma variável tem extremo num ponto interno, sua derivada é zero aí.
Passo 2
Defina a função de uma variável
Como
é ponto interior de
, existe
tal que
para todo
. E como
é ponto de máximo (ou mínimo) local de
, segue que
tem máximo (ou mínimo) local em
.
Passo 3
Pela teoria de funções de uma variável, a condição necessária para
ter extremo em
é
Mas por definição de derivada parcial,
Logo
Passo 4
Analogamente, defina
Pela mesma razão,
tem extremo local em
e assim