- Para uma certa substância, a taxa de variação da pressão de vapor
em relação à temperatura
é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura. Determine uma expressão para
.
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de variação da pressão de vapor
em relação à temperatura
é proporcional à pressão
e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura
.
As perguntas/objetivos são:
As perguntas/objetivos são:
- Encontrar uma expressão para
, isto é, a função pressão em função da temperatura. - Listar as informações relevantes fornecidas:
- A relação qualitativa: taxa de variação
é proporcional a e a . - Não foi dada condição inicial (nenhum valor de
em uma temperatura específica), então espera-se a solução geral com constante arbitrária.
- A relação qualitativa: taxa de variação
Passo 2
Traduzir a frase "proporcional a
e inversamente proporcional a
" em uma equação diferencial.
Quando dizemos "proporcional a " e "inversamente proporcional a
" podemos escrever:
Quando dizemos "proporcional a
onde
é a constante de proporcionalidade (pode ser positiva ou negativa; seu valor depende da substância).
Explicando as variáveis: é a pressão em função da temperatura
;
é a derivada de
em relação a
, ou seja, a taxa de variação instantânea de
quando
muda.
Explicando as variáveis:
Passo 3
Reconhecer o tipo de equação diferencial e preparar para resolver.
A equação
A equação
é uma equação diferencial de primeira ordem e é separável: os termos em
podem ficar de um lado e os termos em
do outro. Isso facilita a integração direta. Separar as variáveis significa reescrever como:
Aqui a ideia é: integrar ambos os lados em relação às suas variáveis, usando integrais conhecidas.
Passo 4
Integrar os dois lados. Vou integrar o lado esquerdo em
e o direito em
:
Calcular cada integral:
-
. Explicando: a primitiva de é o logaritmo natural de . -
Explicando: .
Juntando e absorvendo constantes em uma só constante
(ou seja,
), obtemos:
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Chamando
(constante positiva) e lembrando que pressão é positiva física e podemos remover o valor absoluto, obtemos a solução geral:
onde
é uma constante determinada por uma condição inicial (se houver) e
é a constante de proporcionalidade indicada no enunciado.
Passo 6
Interpretação e como usar em prova (dica prática).
- Se na prova der uma condição inicial do tipo
, determine substituindo: Assim a solução particular fica - Sobre o sinal de
: se então cresce quando aumenta? Na verdade, como tende para quando , tende para . Para pequeno, o fator exponencial pode variar muito. Em provas normalmente o importante é apresentar a forma correta e, se pedirem, aplicar condição inicial.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar).
Suponha que e que exista a condição
(unidades quaisquer). Então
Suponha que
A solução é
Isto mostra como calcular
e montar a solução particular numa prova se der um ponto.