1. Para uma certa substância, a taxa de variação da pressão de vapor P em relação à temperatura T é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura. Determine uma expressão para P(T).

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de variação da pressão de vapor P em relação à temperatura T é proporcional à pressão P e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura T.
As perguntas/objetivos são:
  • Encontrar uma expressão para P(T), isto é, a função pressão em função da temperatura.
  • Listar as informações relevantes fornecidas:
    • A relação qualitativa: taxa de variação \dfrac{dP}{dT} é proporcional a P e a 1/T^{2}.
    • Não foi dada condição inicial (nenhum valor de P em uma temperatura específica), então espera-se a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Traduzir a frase "proporcional a P e inversamente proporcional a T^{2}" em uma equação diferencial.
Quando dizemos "proporcional a P" e "inversamente proporcional a T^{2}" podemos escrever:
\frac{dP}{dT} = k\,\frac{P}{T^{2}},
onde k é a constante de proporcionalidade (pode ser positiva ou negativa; seu valor depende da substância).
Explicando as variáveis: P=P(T) é a pressão em função da temperatura T; dP/dT é a derivada de P em relação a T, ou seja, a taxa de variação instantânea de P quando T muda.

Passo 3

Reconhecer o tipo de equação diferencial e preparar para resolver.
A equação
\frac{dP}{dT} = k\,\frac{P}{T^{2}}
é uma equação diferencial de primeira ordem e é separável: os termos em P podem ficar de um lado e os termos em T do outro. Isso facilita a integração direta. Separar as variáveis significa reescrever como:
\frac{1}{P}\,dP = k\,\frac{1}{T^{2}}\,dT.
Aqui a ideia é: integrar ambos os lados em relação às suas variáveis, usando integrais conhecidas.

Passo 4

Integrar os dois lados. Vou integrar o lado esquerdo em P e o direito em T:
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,T^{-2}\,dT.
Calcular cada integral:
  • \displaystyle \int \frac{1}{P}\,dP = \ln|P| + C_{1}. Explicando: a primitiva de 1/P é o logaritmo natural de |P|.
  • \displaystyle \int k\,T^{-2}\,dT = k\int T^{-2}\,dT = k\left(-\frac{1}{T}\right) + C_{2} = -\frac{k}{T} + C_{2}. Explicando: \int T^{-2} dT = T^{-1}/(-1) = -1/T.
Juntando e absorvendo constantes em uma só constante C (ou seja, C=C_{2}-C_{1}), obtemos:
\ln|P| = -\frac{k}{T} + C.

Passo 5

Resolver para P. Exponenciando ambos os lados:
|P| = e^{-\frac{k}{T} + C} = e^{C}\,e^{-\frac{k}{T}}.
Chamando A=e^{C}>0 (constante positiva) e lembrando que pressão é positiva física e podemos remover o valor absoluto, obtemos a solução geral:
P(T) = A\,e^{-\frac{k}{T}},
onde A>0 é uma constante determinada por uma condição inicial (se houver) e k é a constante de proporcionalidade indicada no enunciado.

Passo 6

Interpretação e como usar em prova (dica prática).
  • Se na prova der uma condição inicial do tipo P(T_{0})=P_{0}, determine A substituindo: P_{0} = A\,e^{-\frac{k}{T_{0}}}\quad\Rightarrow\quad A = P_{0}\,e^{\frac{k}{T_{0}}}.Assim a solução particular fica P(T) = P_{0}\,\exp\!\Big(\frac{k}{T_{0}}-\frac{k}{T}\Big).
  • Sobre o sinal de k: se k>0 então e^{-k/T} cresce quando T aumenta? Na verdade, como -k/T tende para 0 quando T\to\infty, P(T) tende para A. Para T pequeno, o fator exponencial pode variar muito. Em provas normalmente o importante é apresentar a forma correta P(T)=A\exp(-k/T) e, se pedirem, aplicar condição inicial.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar).
Suponha que k=2 e que exista a condição P(300)=10 (unidades quaisquer). Então
A = 10\,e^{\frac{2}{300}}.
A solução é
P(T) = 10\,e^{\frac{2}{300}}\,e^{-\frac{2}{T}} = 10\,\exp\!\Big(\frac{2}{300}-\frac{2}{T}\Big).
Isto mostra como calcular A e montar a solução particular numa prova se der um ponto.

Resposta

P(T)=A\,\exp\!\left(-\dfrac{k}{T}\right), com A>0 constante (determinado por condição inicial) e k a constante de proporcionalidade.

Exercícios relacionados