1. Considere o circuito elétrico formado por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e uma fonte de tensão externa E(t), ligados em série cuja equação que descreve a corrente elétrica I=I(t) que o percorre é dada por:
L \frac{d I}{d t}+R I=E(t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial que descreve a corrente elétrica I=I(t) num circuito série R L forçado por uma fonte E(t):
L\frac{dI}{dt}+R\,I=E(t).
O que vou fazer: encontrar a solução geral I(t) para um E(t) arbitrário, mostrando claramente a parte homogênea (transiente) e a parte particular (forçada). Vou também dar a forma com condição inicial I(t_0)=I_0 e exemplificar com um E(t) constante, porque isso costuma cair na prova.
Informações dadas:
  • L é a indutância (constante positiva).
  • R é a resistência (constante não negativa, típicamente positiva).
  • E(t) é a tensão aplicada (função conhecida de t).
  • A incógnita é I(t).
  • Pode haver uma condição inicial I(t_0)=I_0 (se não for dada, apresento a solução geral com uma constante de integração).

Passo 2

Classificação da equação e ideia do método.
A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I=\frac{1}{L}E(t).
Para esse tipo de equação usamos o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é:
  • Resolver primeiro a equação homogênea associada (onde colocamos E(t)=0) para obter a solução transiente.
  • Encontrar um fator engenhoso \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)I(t). Depois integramos e obtemos a solução geral.
Vou explicar cada passo devagar, mostrando o sentido físico (transiente decaindo) e as contas algébricas.

Passo 3

Resolver a equação homogênea (transiente).
A equação homogênea é
L\frac{dI_h}{dt}+R I_h=0.
Passos:
  • Colocar em forma separável: \dfrac{dI_h}{dt} = -\dfrac{R}{L}I_h.
  • Integrar: \dfrac{dI_h}{I_h} = -\dfrac{R}{L}\,dt.
  • Integração dá \ln|I_h| = -\dfrac{R}{L}t + C.
  • Exponenciando, obtemos a solução geral homogênea
I_h(t)=C\,e^{-\frac{R}{L}t},
onde C é constante determinada pela condição inicial. Note que a combinação \tau=\dfrac{L}{R} é o tempo característico do circuito: \dfrac{R}{L}=\dfrac{1}{\tau}. Fisicamente, essa solução representa o decaimento exponencial da corrente quando não há forçamento.

Passo 4

Construir o fator integrante e transformar a equação.
Escrevemos a equação em forma padrão:
\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}I=\frac{1}{L}E(t).
O fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{R}{L}\,dt\right)=e^{\frac{R}{L}t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
e^{\frac{R}{L}t}\frac{dI}{dt}+\frac{R}{L}e^{\frac{R}{L}t}I=\frac{1}{L}e^{\frac{R}{L}t}E(t).
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\!\left(e^{\frac{R}{L}t}I(t)\right)=\frac{1}{L}e^{\frac{R}{L}t}E(t).
Isso é a chave: agora basta integrar em t.

Passo 5

Integrar e obter a solução geral com condição inicial I(t_0)=I_0.
Integramos ambos os lados entre t_0 e t:
e^{\frac{R}{L}t}I(t)-e^{\frac{R}{L}t_0}I(t_0)=\frac{1}{L}\int_{t_0}^{t}e^{\frac{R}{L}s}E(s)\,ds.
Isolando I(t) obtemos
I(t)=e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}I(t_0)+\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\int_{t_0}^{t}e^{\frac{R}{L}s}E(s)\,ds.
Essa é a forma integral da solução. Explico o que cada termo significa:
  • O primeiro termo e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}I(t_0) é o termo transiente (solução homogênea) que decai com constante de tempo \tau=\dfrac{L}{R}.
  • O segundo termo é a resposta forçada: uma convolução entre E(s) e um núcleo exponencial. Note que podemos rearranjar para uma forma de convolução mais explícita.

Passo 6

Escrever a solução na forma de convolução (útil para interpretar a resposta como soma de efeitos passados).
Reescrevendo o segundo termo:
\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\int_{t_0}^{t}e^{\frac{R}{L}s}E(s)\,ds = \int_{t_0}^{t}\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}(t-s)}E(s)\,ds.
Portanto a solução fica
I(t)=e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}I(t_0)+\int_{t_0}^{t}\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}(t-s)}E(s)\,ds.
Interpretação: a corrente em t é a soma da contribuição do estado inicial (decaindo exponencialmente) mais a soma (integral) das contribuições passadas da fonte E(s) atenuadas pelo fator exponencial \frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}(t-s)}.

Passo 7

Exemplo prático muito utilizado em provas: entrada em degrau (fonte constante) E(t)=E_0 com condição inicial I(0)=I_0.
Tomando t_0=0 e E(t)=E_0 constante,
I(t)=e^{-\frac{R}{L}t}I_0+\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}s}E_0\,ds.
Calcule a integral:
\int_{0}^{t}e^{\frac{R}{L}s}E_0\,ds=E_0\cdot\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}t}-1\right).
Substituindo:
I(t)=e^{-\frac{R}{L}t}I_0+e^{-\frac{R}{L}t}\cdot\frac{1}{L}\cdot E_0\cdot\frac{L}{R}\left(e^{\frac{R}{L}t}-1\right).
Simplificando:
I(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)e^{-\frac{R}{L}t}.
Interpretação física: a corrente tende assintoticamente para o valor estacionário \dfrac{E_0}{R} e o termo exponencial é o transiente que decai com constante de tempo \tau=\dfrac{L}{R}. Dica prática para provas: sempre cheque esse caso simples — é o padrão.

Passo 8

Observações finais e dicas rápidas para a prova
  • Se a questão der E(t) senoidal (por exemplo E(t)=E_m\cos(\omega t+\varphi)), uma alternativa eficiente é procurar uma solução particular senoidal (método dos coeficientes a partir de uma forma trigonométrica ou usar fasores), mas a forma integral que derivei está sempre correta.
  • Lembre-se da forma prática: solução = transiente exponencial + resposta forçada (convolução).
  • Tempo característico \tau=\dfrac{L}{R} é útil para estimar quanto tempo o circuito demora para “esquecer” a condição inicial (por exemplo, após 3\tau o transiente já é pequeno).
  • Em cálculos sem calculadora, use integrais básicas (constantes e exponenciais). Para integrais mais complicadas, tente métodos de integração por partes ou reconhecimento de derivadas.

Resposta

I(t)=e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}I(t_0)+\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}t}\int_{t_0}^{t}e^{\frac{R}{L}s}E(s)\,ds
\text{ou equivalently}\quad I(t)=e^{-\frac{R}{L}(t-t_0)}I(t_0)+\int_{t_0}^{t}\frac{1}{L}e^{-\frac{R}{L}(t-s)}E(s)\,ds

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