- Considere o circuito elétrico formado por um resistor de resistência
, um indutor de indutância
e uma fonte de tensão externa
, ligados em série cuja equação que descreve a corrente elétrica
que o percorre é dada por:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial que descreve a corrente elétrica
num circuito série
–
forçado por uma fonte
:
O que vou fazer: encontrar a solução geral
para um
arbitrário, mostrando claramente a parte homogênea (transiente) e a parte particular (forçada). Vou também dar a forma com condição inicial
e exemplificar com um
constante, porque isso costuma cair na prova.
Informações dadas:
-
é a indutância (constante positiva). -
é a resistência (constante não negativa, típicamente positiva). -
é a tensão aplicada (função conhecida de ). - A incógnita é
. - Pode haver uma condição inicial
(se não for dada, apresento a solução geral com uma constante de integração).
Passo 2
Classificação da equação e ideia do método.
A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
Para esse tipo de equação usamos o método do fator integrante (integrating factor). A ideia é:
- Resolver primeiro a equação homogênea associada (onde colocamos
) para obter a solução transiente. - Encontrar um fator engenhoso
tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torne a derivada de . Depois integramos e obtemos a solução geral.
Vou explicar cada passo devagar, mostrando o sentido físico (transiente decaindo) e as contas algébricas.
Passo 3
Resolver a equação homogênea (transiente).
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Passos:
- Colocar em forma separável:
. - Integrar:
. - Integração dá
. - Exponenciando, obtemos a solução geral homogênea
onde
é constante determinada pela condição inicial. Note que a combinação
é o tempo característico do circuito:
. Fisicamente, essa solução representa o decaimento exponencial da corrente quando não há forçamento.
Passo 4
Construir o fator integrante e transformar a equação.
Escrevemos a equação em forma padrão:
Escrevemos a equação em forma padrão:
O fator integrante
é
Multiplicando a equação por
obtemos
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto:
Isso é a chave: agora basta integrar em
.
Passo 5
Integrar e obter a solução geral com condição inicial
.
Integramos ambos os lados entre e
:
Integramos ambos os lados entre
Isolando
obtemos
Essa é a forma integral da solução. Explico o que cada termo significa:
- O primeiro termo
é o termo transiente (solução homogênea) que decai com constante de tempo . - O segundo termo é a resposta forçada: uma convolução entre
e um núcleo exponencial. Note que podemos rearranjar para uma forma de convolução mais explícita.
Passo 6
Escrever a solução na forma de convolução (útil para interpretar a resposta como soma de efeitos passados).
Reescrevendo o segundo termo:
Reescrevendo o segundo termo:
Portanto a solução fica
Interpretação: a corrente em
é a soma da contribuição do estado inicial (decaindo exponencialmente) mais a soma (integral) das contribuições passadas da fonte
atenuadas pelo fator exponencial
.
Passo 7
Exemplo prático muito utilizado em provas: entrada em degrau (fonte constante)
com condição inicial
.
Tomando e
constante,
Tomando
Calcule a integral:
Substituindo:
Simplificando:
Interpretação física: a corrente tende assintoticamente para o valor estacionário
e o termo exponencial é o transiente que decai com constante de tempo
. Dica prática para provas: sempre cheque esse caso simples — é o padrão.
Passo 8
Observações finais e dicas rápidas para a prova
- Se a questão der
senoidal (por exemplo ), uma alternativa eficiente é procurar uma solução particular senoidal (método dos coeficientes a partir de uma forma trigonométrica ou usar fasores), mas a forma integral que derivei está sempre correta. - Lembre-se da forma prática: solução = transiente exponencial + resposta forçada (convolução).
- Tempo característico
é útil para estimar quanto tempo o circuito demora para “esquecer” a condição inicial (por exemplo, após o transiente já é pequeno). - Em cálculos sem calculadora, use integrais básicas (constantes e exponenciais). Para integrais mais complicadas, tente métodos de integração por partes ou reconhecimento de derivadas.