Para os próximos dois problemas, considere a lei de resfriamento/aquecimento de Newton:
\frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{m}\right)
em que T=T(t) é a temperatura de um objeto no instante t \geq 0 e T_{m} é a temperatura do meio que se encontra.
4. Suponha que um corpo, descoberto à meia-noite, tenha temperatura de 29,4^{\mathrm{o}} \mathrm{C} e que a temperatura ambiente seja constante e igual a 21,1^{\circ} \mathrm{C}. O corpo é removido rapidamente (faça a hipótese da instantaneidade) para o necrotério onde a temperatura ambiente é 4,4^{\mathrm{o}} \mathrm{C}. Depois de uma hora a temperatura do corpo é de 15,6^{\mathrm{o}} \mathrm{C}. Estime a hora da morte.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede que estimemos a hora da morte.
Temperatura “normal” do corpo ao morrer (hipótese usual): \,37{,}0^\circ\mathrm{C}.
Na meia-noite (vamos tomar esse instante como t=0) o corpo foi descoberto com temperatura \,29{,}4^\circ\mathrm{C}.
Antes da descoberta, o corpo estava no ambiente normal com temperatura \,21{,}1^\circ\mathrm{C}.
Imediatamente (hipótese de transferência instantânea) o corpo foi levado ao necrotério, onde a temperatura ambiente é \,4{,}4^\circ\mathrm{C}.
Depois de uma hora no necrotério (isto é, em t=1 hora, contado a partir da meia-noite), a temperatura do corpo é \,15{,}6^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
Estimar a hora da morte (ou seja, quantas horas/minutos antes da meia-noite a pessoa morreu), usando a lei de Newton
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_m\bigr),
assumindo que a constante k é a mesma nas duas etapas (resfriamento no ambiente a \,21{,}1^\circ\mathrm{C} e depois no necrotério a \,4{,}4^\circ\mathrm{C}).
Passo 2
Resolver a equação diferencial geral e explicar a solução.
A equação dada é linear e separável. Interpretando as variáveis:
T(t) é a temperatura do corpo no instante t.
T_m é a temperatura do meio (constante durante cada estágio).
k é a constante de resfriamento (geralmente negativa para resfriamento).
Resolver por separação de variáveis:
\frac{dT}{T-T_m}=k\,dt.
Integrando ambos os lados:
\ln\bigl|T-T_m\bigr|=kt+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando e reescrevendo,
T(t)=T_m + C_1 e^{kt},
onde C_1 é constante determinada pela condição inicial. Em palavras: a temperatura do corpo se aproxima exponencialmente da temperatura do meio com taxa definida por k.
Passo 3
Aplicar a solução ao segundo estágio (no necrotério) para determinar k.
Definimos o relógio de tempo de forma que t=0 é a meia-noite (quando o corpo tem 29{,}4^\circ\mathrm{C} e é levado ao necrotério). No necrotério, o meio tem temperatura T_m=4{,}4^\circ\mathrm{C}. A solução para t\ge0 é
T(t)=4{,}4 +\bigl(T(0)-4{,}4\bigr)e^{kt}.
Sabendo que T(0)=29{,}4 e T(1)=15{,}6, substituímos:
Comentário didático: k saiu negativo, como esperado para resfriamento (quanto mais negativo, mais rápido o resfriamento).
Passo 4
Usar k e os dados do primeiro estágio (antes da descoberta) para estimar o tempo desde a morte.
No primeiro estágio (desde a morte até a meia-noite) a temperatura do meio é T_m=21{,}1^\circ\mathrm{C}. Vamos chamar por \tau o tempo decorrido entre a morte e a meia-noite (ou seja, a morte ocorreu em t=-\tau; queremos \tau>0). A solução, medindo t a partir da meia-noite retroativamente, é
Interpretar o resultado em termos de hora do dia e dar a estimativa final.
A meia-noite é 24{:}00. Subtraindo \tau\approx 0{,}81 horas (ou 48 min 36 s), obtemos a hora aproximada da morte:
24{:}00 - 0{:}48{:}36 \approx 23{:}11{:}24.
Em palavras amigáveis: a estimativa é que a morte ocorreu por volta de \,23{:}11 (aproximadamente às 11h11min da noite), cerca de 48{,}6 minutos antes da meia-noite.
Resposta
\text{Hora estimada da morte: }23{:}11{:}24\\ (\text{aprox.})