Para os próximos dois problemas, considere a lei de resfriamento/aquecimento de Newton:
\frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{m}\right)
em que T=T(t) é a temperatura de um objeto no instante t \geq 0 e T_{m} é a temperatura do meio que se encontra.
4. Suponha que um corpo, descoberto à meia-noite, tenha temperatura de 29,4^{\mathrm{o}} \mathrm{C} e que a temperatura ambiente seja constante e igual a 21,1^{\circ} \mathrm{C}. O corpo é removido rapidamente (faça a hipótese da instantaneidade) para o necrotério onde a temperatura ambiente é 4,4^{\mathrm{o}} \mathrm{C}. Depois de uma hora a temperatura do corpo é de 15,6^{\mathrm{o}} \mathrm{C}. Estime a hora da morte.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede que estimemos a hora da morte.
  • Temperatura “normal” do corpo ao morrer (hipótese usual): \,37{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Na meia-noite (vamos tomar esse instante como t=0) o corpo foi descoberto com temperatura \,29{,}4^\circ\mathrm{C}.
  • Antes da descoberta, o corpo estava no ambiente normal com temperatura \,21{,}1^\circ\mathrm{C}.
  • Imediatamente (hipótese de transferência instantânea) o corpo foi levado ao necrotério, onde a temperatura ambiente é \,4{,}4^\circ\mathrm{C}.
  • Depois de uma hora no necrotério (isto é, em t=1 hora, contado a partir da meia-noite), a temperatura do corpo é \,15{,}6^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • Estimar a hora da morte (ou seja, quantas horas/minutos antes da meia-noite a pessoa morreu), usando a lei de Newton
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_m\bigr),
assumindo que a constante k é a mesma nas duas etapas (resfriamento no ambiente a \,21{,}1^\circ\mathrm{C} e depois no necrotério a \,4{,}4^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Resolver a equação diferencial geral e explicar a solução.
A equação dada é linear e separável. Interpretando as variáveis:
  • T(t) é a temperatura do corpo no instante t.
  • T_m é a temperatura do meio (constante durante cada estágio).
  • k é a constante de resfriamento (geralmente negativa para resfriamento).
Resolver por separação de variáveis:
\frac{dT}{T-T_m}=k\,dt.
Integrando ambos os lados:
\ln\bigl|T-T_m\bigr|=kt+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando e reescrevendo,
T(t)=T_m + C_1 e^{kt},
onde C_1 é constante determinada pela condição inicial. Em palavras: a temperatura do corpo se aproxima exponencialmente da temperatura do meio com taxa definida por k.

Passo 3

Aplicar a solução ao segundo estágio (no necrotério) para determinar k.
Definimos o relógio de tempo de forma que t=0 é a meia-noite (quando o corpo tem 29{,}4^\circ\mathrm{C} e é levado ao necrotério). No necrotério, o meio tem temperatura T_m=4{,}4^\circ\mathrm{C}. A solução para t\ge0 é
T(t)=4{,}4 +\bigl(T(0)-4{,}4\bigr)e^{kt}.
Sabendo que T(0)=29{,}4 e T(1)=15{,}6, substituímos:
15{,}6 = 4{,}4 +\bigl(29{,}4-4{,}4\bigr)e^{k\cdot 1}.
Calcular o passo a passo:
15{,}6-4{,}4 = (29{,}4-4{,}4)e^{k}
11{,}2 = 25\,e^{k}
e^{k}=\frac{11{,}2}{25}=0{,}448
k=\ln(0{,}448)\approx -0{,}803.
Comentário didático: k saiu negativo, como esperado para resfriamento (quanto mais negativo, mais rápido o resfriamento).

Passo 4

Usar k e os dados do primeiro estágio (antes da descoberta) para estimar o tempo desde a morte.
No primeiro estágio (desde a morte até a meia-noite) a temperatura do meio é T_m=21{,}1^\circ\mathrm{C}. Vamos chamar por \tau o tempo decorrido entre a morte e a meia-noite (ou seja, a morte ocorreu em t=-\tau; queremos \tau>0). A solução, medindo t a partir da meia-noite retroativamente, é
T(0)=21{,}1 +\bigl(T(-\tau)-21{,}1\bigr)e^{k\tau}.
Aqui T(-\tau) é a temperatura ao morrer, que tomamos como 37{,}0^\circ\mathrm{C}. Substituindo T(0)=29{,}4 e T(-\tau)=37{,}0:
29{,}4 = 21{,}1 +\bigl(37{,}0-21{,}1\bigr)e^{k\tau}.
Passos algébricos:
29{,}4-21{,}1 = 15{,}9\,e^{k\tau}
8{,}3 = 15{,}9\,e^{k\tau}
e^{k\tau}=\frac{8{,}3}{15{,}9}\approx 0{,}522
Tomando logaritmo natural:
k\tau=\ln(0{,}522)\approx -0{,}650
Logo
\tau=\frac{\ln(0{,}522)}{k}\approx\frac{-0{,}650}{-0{,}803}\approx 0{,}81\\ \text{horas}.
Converter para minutos:
0{,}81\\ \text{h}\times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}}\approx 48{,}6\\ \text{min}\approx 48\\ \text{min}\\\ 36\\ \text{s}.

Passo 5

Interpretar o resultado em termos de hora do dia e dar a estimativa final.
A meia-noite é 24{:}00. Subtraindo \tau\approx 0{,}81 horas (ou 48 min 36 s), obtemos a hora aproximada da morte:
24{:}00 - 0{:}48{:}36 \approx 23{:}11{:}24.
Em palavras amigáveis: a estimativa é que a morte ocorreu por volta de \,23{:}11 (aproximadamente às 11h11min da noite), cerca de 48{,}6 minutos antes da meia-noite.

Resposta

\text{Hora estimada da morte: }23{:}11{:}24\\ (\text{aprox.})

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