Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
-
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Aqui, como a ordem da derivada é 2, integraremos duas vezes (ou seja,
). Informação dada: a segunda derivada de
é igual a
para todo
. Objetivo: encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade (a solução geral), explicando passo a passo.
Passo 2
Primeira integração: explicar o que significa integrar a equação.
- Integrar a igualdade
em relação a significa aplicar uma primitiva em cada lado:
- Propriedade usada: a integral de uma derivada de ordem superior recupera a derivada de ordem imediatamente inferior (até uma constante). Ou seja,
, onde é uma constante arbitrária. No lado direito, é uma constante arbitrária também.
Passo 3
Resultado da primeira integração e nomeação da constante:
- Podemos escrever o resultado como
onde
é uma constante real arbitrária. Explicação intuitiva: dizer que a derivada primeira
é constante significa que a taxa de variação de
é a mesma em todo lugar.
Passo 4
Segunda integração: integrar
.
- Integramos de novo em relação a
:
- A integral do lado esquerdo é
(mais uma constante), e a do lado direito é mais uma constante arbitrária. Logo
onde
é outra constante real arbitrária independente de
.
Passo 5
Interpretação e verificação:
- Interpretação: a solução geral é uma família de retas (polinômios de grau 1) com coeficiente angular
e intercepto . - Verificação rápida: se
então
logo a equação original é satisfeita para quaisquer constantes
.
- Observação sobre condições iniciais: valores como
e determinam e , respectivamente.
Passo 6
Comentário útil (generalização):
- Se em geral
(a derivada -ésima é zero), integrando vezes obtém-se a solução geral
ou seja, um polinômio de grau no máximo
com
constantes arbitrárias.