Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
  1. y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}=0
integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Aqui, como a ordem da derivada é 2, integraremos duas vezes (ou seja, n=2). Informação dada: a segunda derivada de y é igual a 0 para todo x. Objetivo: encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade (a solução geral), explicando passo a passo.

Passo 2

Primeira integração: explicar o que significa integrar a equação.
  • Integrar a igualdade \,y^{\prime\prime}(x)=0 em relação a x significa aplicar uma primitiva em cada lado:
\int y^{\prime\prime}(x)\,dx = \int 0\,dx.
  • Propriedade usada: a integral de uma derivada de ordem superior recupera a derivada de ordem imediatamente inferior (até uma constante). Ou seja, \int y^{\prime\prime}(x)\,dx = y^{\prime}(x) + C, onde C é uma constante arbitrária. No lado direito, \int 0\,dx é uma constante arbitrária também.

Passo 3

Resultado da primeira integração e nomeação da constante:
  • Podemos escrever o resultado como
y^{\prime}(x) = C_{1},
onde \,C_{1} é uma constante real arbitrária. Explicação intuitiva: dizer que a derivada primeira y' é constante significa que a taxa de variação de y é a mesma em todo lugar.

Passo 4

Segunda integração: integrar y^{\prime}(x)=C_{1}.
  • Integramos de novo em relação a x:
\int y^{\prime}(x)\,dx = \int C_{1}\,dx.
  • A integral do lado esquerdo é y(x) (mais uma constante), e a do lado direito é C_{1}x mais uma constante arbitrária. Logo
y(x) = C_{1}x + C_{2},
onde \,C_{2} é outra constante real arbitrária independente de \,C_{1}.

Passo 5

Interpretação e verificação:
  • Interpretação: a solução geral é uma família de retas (polinômios de grau 1) com coeficiente angular C_{1} e intercepto C_{2}.
  • Verificação rápida: se y(x)=C_{1}x+C_{2} então
y^{\prime}(x)=C_{1},\qquad y^{\prime\prime}(x)=0,
logo a equação original é satisfeita para quaisquer constantes C_{1},C_{2}.
  • Observação sobre condições iniciais: valores como y(x_{0}) e y^{\prime}(x_{0}) determinam C_{2} e C_{1}, respectivamente.

Passo 6

Comentário útil (generalização):
  • Se em geral \,y^{(n)}=0 (a derivada n-ésima é zero), integrando n vezes obtém-se a solução geral
y(x)=C_{0}+C_{1}x+C_{2}x^{2}+\cdots+C_{n-1}x^{n-1},
ou seja, um polinômio de grau no máximo n-1 com n constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}

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