Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2 e rigidez dielétrica de 20MV/m. Se for usada como dielétrico de um capacitor de placas paralelas infinitas, qual deveria ser, no mínimo, a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 70 mu F e o capacitor suporte uma diferença de potencial de 2 kV ?

Passo 1

Então, o exercício diz que temos um capacitor de placas paralelas (infinito, pra simplificar) preenchido por uma substância com constante dielétrica ε_r=2 e rigidez dielétrica E_max=20 MV/m. A ideia é achar qual deve ser, no mínimo, a área A das placas para que a capacitância seja C=70 µF e ele aguente uma diferença de potencial V=2 kV sem romper o dielétrico.
Conteúdo: eletrostática de capacitores e relação campo/tensão. Vamos usar as fórmulas
  1. C = ε_r ε₀ A / d
  2. E = V / d, sendo E≤E_max

Passo 2

Primeiro, a gente determina a menor distância d entre as placas para não passar do limite de campo do dielétrico.
Teoria: a rigidez dielétrica E_max é a maior intensidade de campo que o material aguenta antes de romper. E lembre que, num capacitor de placas paralelas, o campo é uniforme e vale
E = Vd,
Para não ultrapassar a rigidez:
$$\frac{V}{d} \le E_{max}
\quad\Longrightarrow\quad
d \ge \frac{V}{E_{max}},. Vd <= Emax Longrightarrow d >= VEmax, d_{min} = \frac{2,000}{20\times10^6}\ m
= 1,0\times10^{-4}\ m
= 0{,}1\ mm,. $$

Passo 3

Agora achamos a área A necessária para ter C=70 µF.
Teoria: capacitância de placas paralelas com dielétrico é
C = varepsilonr,varepsilon0,Ad,
Isolando A:
A = C,dvarepsilonr,varepsilon0,
Sabendo que ε₀≈8,85×10⁻¹² F/m, ε_r=2, C=70×10⁻⁶ F e d=1,0×10⁻⁴ m, temos
A = 70times10^-6times1,0times10^-42times8,85times10^-12 = 7,0times10^-91,77times10^-11 approx 3,95times10^2 m^2,

Resposta

A área mínima deve ser aproximadamente 3,95×10² m² (cerca de 396 m²).

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