Um fio com uma resistividade de
é esticado de tal forma que o comprimento se torna quatro vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a densidade do material permaneçam as mesmas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fio com uma resistividade de
que é esticado, fazendo seu comprimento aumentar quatro vezes. A gente precisa descobrir qual será a resistência desse fio depois dessa mudança. Vamos usar os conceitos de resistividade, resistência, e como elas se relacionam com o comprimento e a área do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona resistência (
), resistividade (
), comprimento (
) e área da seção transversal (
):
Aqui, a resistência é diretamente proporcional ao comprimento e à resistividade, e inversamente proporcional à área da seção transversal.
Passo 3
O exercício diz que o comprimento do fio foi aumentado quatro vezes. Se o comprimento inicial é
, depois da esticada ele passa a ser
.
Passo 4
Agora, precisamos entender como a área da seção transversal muda quando o fio é esticado. Como a densidade do material permanece a mesma, o volume original do fio deve ser igual ao volume final. O volume (
) é dado por:
Então, inicialmente temos:
Após esticar:
Como o volume não muda:
Simplificando
de ambos os lados:
Logo:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula da resistência. A resistência final
será:
Comparando com a resistência inicial
, vemos que:
Passo 6
Sabemos que a resistividade
é
. Mas na fórmula de resistência, a resistividade geralmente tem unidades de
. Contudo, para resolver o exercício, vamos considerar que
.
Então:
Resposta
A resistência do fio após ser esticado quatro vezes é de
.