Uma certa torradeira tem um elemento aquecedor feito de um fio de resistência de nicromo. Quando a torradeira é ligada primeiramente a 120 V (e o fio está a uma temperatura de 20^{\circ} C ), a corrente inicial é de 1,80 A. Contudo, a corrente começa a diminuir à medida que o elemento resistivo se aquece. Quando a torradeira atinge uma temperatura operacional final, a corrente caiu para 1,53 A. (a) Encontre a potência fornecida quando a torradeira está a sua temperautra operacional. (b) Qual é a temperatura final do elemento aquecedor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Tensão aplicada: V = 120\\ \mathrm{V}.
    • Temperatura inicial do fio: T_i = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Corrente inicial (fio frio): I_i = 1,80\\ \mathrm{A}.
    • Corrente na temperatura operacional final: I_f = 1,53\\ \mathrm{A}.
  • O enunciado pede:
    • (a) A potência fornecida quando a torradeira está na temperatura operacional final.
    • (b) A temperatura final T_f do elemento aquecedor.
Observação: para (b) será necessária a relação entre resistência e temperatura para metais (a lei linear aproximada R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]), portanto precisarei usar o coeficiente de temperatura do nicromo. Vou explicar isso e usar um valor típico de \alpha para nicromo mais adiante.

Passo 2

Calcular a resistência inicial R_i a T_i=20^\circ\mathrm{C}. A relação básica de circuitos óhmicos é
R=\frac{V}{I}.
Aplicando ao estado inicial:
R_i=\frac{V}{I_i}=\frac{120}{1,80}.
Fazendo a conta passo a passo:
\frac{120}{1,80}=\frac{120}{1{,}8}=66{,}666\ldots
Arredondando com três algarismos significativos:
R_i\approx66{,}7\\ \Omega.

Passo 3

Calcular a resistência final R_f quando a corrente é I_f=1,53\\ \mathrm{A}. Usando a mesma fórmula:
R_f=\frac{V}{I_f}=\frac{120}{1,53}.
Calculando:
\frac{120}{1{,}53}\approx78{,}4313725\ldots
Arredondando:
R_f\approx78{,}43\\ \Omega.

Passo 4

(a) Calcular a potência fornecida na temperatura operacional final.
Fórmulas úteis (todas equivalentes):
P=VI,\qquad P=I^2R,\qquad P=\frac{V^2}{R}.
Aqui o jeito mais direto é usar P=VI com a corrente final:
P = V I_f = 120\cdot1{,}53.
Calculando:
P = 183{,}6\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos (útil numa prova):
P\approx184\\ \mathrm{W}.
(Se preferir, dá para verificar com P=I_f^2 R_f: 1{,}53^2\cdot78{,}43\approx183{,}6\\ \mathrm{W}, consistente.)

Passo 5

(b) Relacionar resistência com temperatura e isolar T_f.
Explicando a física: para muitos metais (e ligas metálicas como o nicromo), numa faixa de temperatura razoável a resistência varia aproximadamente de forma linear com a temperatura. A expressão é
R(T)=R_0\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr],
onde:
  • R(T) é a resistência à temperatura T,
  • R_0 é a resistência à temperatura de referência T_0,
  • \alpha é o coeficiente de temperatura da resistividade (unidade ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}). Ele diz quanto a resistência relativa cresce por grau Celsius.
Neste problema podemos tomar R_i como R_0 na referência T_0=T_i=20^\circ\mathrm{C}, e R_f como R(T_f). Assim:
R_f = R_i\bigl[1+\alpha\,(T_f-T_i)\bigr].
Isolando T_f:
1+\alpha\,(T_f-T_i)=\frac{R_f}{R_i} \quad\Rightarrow\quad T_f = T_i + \frac{\dfrac{R_f}{R_i}-1}{\alpha}.

Passo 6

Calcular a razão R_f/R_i e a fração de aumento:
\frac{R_f}{R_i}=\frac{78{,}43}{66{,}7}\approx1{,}17647.
Portanto o aumento relativo da resistência é
\frac{R_f}{R_i}-1\approx0{,}17647\quad(\text{ou }17{,}647\%).
Agora precisamos do valor de \alpha para o nicromo. O coeficiente de temperatura da resistência para nicromo depende da composição exata, mas um valor típico usado em problemas e em tabelas práticas é
\alpha \approx 4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
(Comentário rápido: esse \alpha é bem menor que o de cobre \sim3{,}9\times10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}; o nicromo foi projetado para ter coeficiente relativamente baixo. Se seu livro de problema der outro \alpha, substituirá o cálculo, o procedimento é o mesmo.)

Passo 7

Substituir na fórmula para T_f:
T_f = 20^\circ\mathrm{C} + \frac{0{,}17647}{4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}}.
Calcule a divisão:
\frac{0{,}17647}{4{,}0\times10^{-4}}=\frac{0{,}17647}{0{,}0004}\approx441{,}18\\ ^\circ\mathrm{C}.
Somando a temperatura inicial:
T_f \approx20 + 441{,}18 = 461{,}18\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando adequadamente:
T_f\approx4{,}61\times10^{2}\\ ^\circ\mathrm{C}\quad\text{ou}\quad T_f\approx461^\circ\mathrm{C}.
Breve comentário de interpretação: esse valor é razoável para um elemento aquecedor de nichrome — fios chegam a centenas de graus quando em operação. Se for usado outro valor de \alpha (dado no enunciado do seu problema ou tabela), basta substituir na última fórmula; o procedimento não muda.

Resposta

P \approx 183{,}6\\ \mathrm{W} (ou 184\\ \mathrm{W} com três algarismos significativos)
T_f \approx 461^\circ\mathrm{C} (usando \alpha=4{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1})

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