Um resistor cilíndrico, de raio igual a 5,0 \mathrm{~mm} e de comprimento igual a 2,0 \mathrm{~cm} é feito de um material cuja resisitividade é de 3,5 \times 10^{-5} \Omega m. Quais são a densidade de corrente e a diferença de potencial quando a potência dissipada é de 1,0 W ?

Passo 1

O enunciado dá um resistor cilíndrico e pede duas coisas: a densidade de corrente e a diferença de potencial quando a potência dissipada é 1,0\\ \mathrm{W}.
Dados fornecidos:
  • raio: r=5,0\\ \mathrm{mm}=5,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • comprimento: L=2,0\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • resistividade do material: \rho=3,5\times10^{-5}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}.
  • potência dissipada: P=1,0\\ \mathrm{W}.
O que precisamos encontrar:
  1. densidade de corrente J (em \mathrm{A/m^{2}});
  2. diferença de potencial V entre as extremidades do resistor (em \mathrm{V}).
Observação importante (hipótese usada): assume-se que a corrente está uniformemente distribuída na seção transversal do cilindro, de modo que a densidade de corrente é J=I/A, onde I é a corrente total e A a área da seção.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal A do cilindro e explicar a fórmula da resistência.
A área de um círculo é dada por A=\pi r^{2}. Aqui:
A=\pi(5,0\times10^{-3})^{2}=\pi\times25,0\times10^{-6}=25,0\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}
Aproximando numericamente:
A\approx7,85\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}
Explicação física: a resistividade \rho é uma propriedade do material que relaciona o comprimento e a área com a resistência elétrica. Para um fio de comprimento L e área A a resistência é
R=\frac{\rho\,L}{A}.
Aqui R tem unidade de \Omega, \rho em \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}, L em \mathrm{m} e A em \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Calcular a resistência R do cilindro usando \,R=\dfrac{\rho L}{A}\,.
Primeiro calcule o produto \rho L:
\rho L=(3,5\times10^{-5})\times0,02=7,0\times10^{-7}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m^2}.
Agora divida por A:
R=\frac{7,0\times10^{-7}}{7,85\times10^{-5}}\\ \Omega\approx8,91\times10^{-3}\\ \Omega.
Comentário didático: R é pequeno porque o objeto é relativamente curto e grosso e o material tem resistividade moderada.

Passo 4

Relações de potência elétrica e escolha do método para achar a corrente I.
A potência dissipada num resistor pode ser escrita de três maneiras equivalentes:
P=V\,I,\qquad P=I^{2}R,\qquad P=\frac{V^{2}}{R}.
Dessas equações, para obter a corrente I é prático usar
I=\sqrt{\frac{P}{R}}.
Substituindo P=1,0\\ \mathrm{W} e R=8,91\times10^{-3}\\ \Omega:
I=\sqrt{\frac{1,0}{8,91\times10^{-3}}}=\sqrt{112,2}\\ \mathrm{A}\approx10,6\\ \mathrm{A}.
Explicação: essa fórmula vem de rearranjar P=I^{2}R para I=\sqrt{P/R}.

Passo 5

Calcular a densidade de corrente J a partir de I e A.
Definição: a densidade de corrente J é a corrente por unidade de área da seção transversal:
J=\frac{I}{A}.
Substituindo os valores numéricos:
J=\frac{10,6}{7,85\times10^{-5}}\\ \mathrm{A/m^{2}}\approx1,35\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Comentário didático: J diz quão “concentrada” está a corrente; unidades são \mathrm{A/m^{2}}. Aqui usamos a hipótese de distribuição uniforme da corrente na seção.

Passo 6

Calcular a diferença de potencial V entre as extremidades do resistor.
Usando \,V=I R\, (ou alternativamente V=\sqrt{P R}):
V=I R\approx10,6\times8,91\times10^{-3}\\ \mathrm{V}\approx9,45\times10^{-2}\\ \mathrm{V}.
Explicação: V é a queda de potencial necessária para forçar a corrente I através da resistência R.

Passo 7

Resumo numérico (valores com notação científica e unidades):
  • resistência calculada: \,R\approx8,91\times10^{-3}\\ \Omega.
  • corrente: \,I\approx10,6\\ \mathrm{A}.
  • densidade de corrente: \,J\approx1,35\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  • diferença de potencial: \,V\approx9,45\times10^{-2}\\ \mathrm{V}.
Força final de ânimo: tá indo bem — essas contas são repetitivas na prova; decorar as fórmulas R=\rho L/A e P=I^{2}R ajuda muito.

Resposta

J=1,35\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}
V=9,45\times10^{-2}\\ \mathrm{V}

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