Em certo acelerador de partículas, prótons se movem em uma trajetória circular de
de diâmetro em uma câmara evacuada cujo gás residual está a uma temperatura de 295 K e a uma pressão de
torr. (a) Calcule o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico. (b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás residual se o diâmetro das moléculas é
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Diâmetro da trajetória circular (dado que não será necessário para os cálculos pedidos):
. - Temperatura do gás residual:
. - Pressão do gás residual: o enunciado escreveu
. Isso claramente parece ser um erro de digitação (valor fisicamente impossível para um acelerador). Vou interpretar que o valor correto é — este é um valor típico de boas câmaras de vácuo. Se você tiver outra intenção, me avise, mas seguirei essa interpretação. - Diâmetro das moléculas: o enunciado escreveu
, que também é impossível. Vou interpretar como (valor típico de uma molécula/átomo).
O que é pedido:
(a) Calcular o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico.
(b) Calcular o livre caminho médio das moléculas do gás residual, usando o diâmetro molecular dado.
(a) Calcular o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico.
(b) Calcular o livre caminho médio das moléculas do gás residual, usando o diâmetro molecular dado.
Passo 2
Vamos calcular o número de moléculas por volume usando a equação dos gases ideais na forma que relaciona pressão com densidade numérica:
Aqui:
-
é a pressão (em pascal, ), -
é a densidade numérica (número de moléculas por metro cúbico, ), -
é a constante de Boltzmann, , -
é a temperatura em kelvin.
Passos práticos:
- Converter a pressão de torr para pascal. A relação é
. - Isolar
em . - Converter o resultado de
para sabendo que .
Cálculos:
Pressão adotada:
Pressão adotada:
Produto
:
Densidade em
:
Converter para
(dividir por
):
Arredondando em função dos dados (~3 algarismos significativos):
Passo 3
Agora vamos obter o livre caminho médio
. Conceito e fórmula:
- O livre caminho médio
é a distância média que uma molécula percorre entre colisões com outras moléculas. - Para um gás de esferas duras, a fórmula (cinemática estatística) é
onde
é a seção eficaz de colisão entre duas moléculas. Para esferas duras de diâmetro
,
Explicando as escolhas:
- A seção eficaz
é a área “alvo” que uma molécula apresenta para outra; se o centro de uma molécula passar a uma distância menor que do centro da outra, considera-se colisão. - O fator
aparece porque estamos considerando velocidades relativas das moléculas (duas moléculas em movimento aumentam a taxa de colisão em em média para um gás isotrópico).
Observações de unidades:
- Se
estiver em e em , então em e sairá em . É conveniente trabalhar em aqui porque a pergunta (a) pediu por .
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números:
Dados que adotamos:
Seção eficaz:
Fator com
:
Denominador da fórmula:
Logo o livre caminho médio:
Converter para metros (opcional, para intuição):
Interpretação rápida: com o vácuo tão bom (pressão
torr), uma molécula viaja em média centenas de metros antes de colidir — por isso prótons em aceleradores raramente são defletidos por colisões com o gás residual.
Resposta
(a)
(b)
(b)