Em certo acelerador de partículas, prótons se movem em uma trajetória circular de 23,0 \mathrm{~m} de diâmetro em uma câmara evacuada cujo gás residual está a uma temperatura de 295 K e a uma pressão de 1,00 \times 10^{26} torr. (a) Calcule o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico. (b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás residual se o diâmetro das moléculas é 2,00 \times 10^{28} \mathrm{~cm} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Diâmetro da trajetória circular (dado que não será necessário para os cálculos pedidos): \;23,0\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do gás residual: \;295\\ \mathrm{K}.
  • Pressão do gás residual: o enunciado escreveu \;1,00\times10^{26}\\ \text{torr}. Isso claramente parece ser um erro de digitação (valor fisicamente impossível para um acelerador). Vou interpretar que o valor correto é \;1,00\times10^{-6}\\ \text{torr} — este é um valor típico de boas câmaras de vácuo. Se você tiver outra intenção, me avise, mas seguirei essa interpretação.
  • Diâmetro das moléculas: o enunciado escreveu \;2,00\times10^{28}\\ \mathrm{cm}, que também é impossível. Vou interpretar como \;2,00\times10^{-8}\\ \mathrm{cm} (valor típico de uma molécula/átomo).
O que é pedido:
(a) Calcular o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico.
(b) Calcular o livre caminho médio das moléculas do gás residual, usando o diâmetro molecular dado.

Passo 2

Vamos calcular o número de moléculas por volume usando a equação dos gases ideais na forma que relaciona pressão com densidade numérica:
p = n k_B T
Aqui:
  • \;p é a pressão (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • \;n é a densidade numérica (número de moléculas por metro cúbico, \mathrm{m^{-3}}),
  • \;k_B é a constante de Boltzmann, \;k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
  • \;T é a temperatura em kelvin.
Passos práticos:
  1. Converter a pressão de torr para pascal. A relação é \;1\\ \text{torr} = 1,33322\times10^{2}\\ \mathrm{Pa}.
  2. Isolar n em \;n = \dfrac{p}{k_B T}.
  3. Converter o resultado de \mathrm{m^{-3}} para \mathrm{cm^{-3}} sabendo que 1\\ \mathrm{m^{3}} = 10^{6}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Cálculos:
Pressão adotada:
p = 1,00\times10^{-6}\\ \text{torr}\times 1,33322\times10^{2}\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\text{torr}} = 1,33322\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa}.
Produto k_B T:
k_B T = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}\times 295\\ \mathrm{K} = 4,072\; \times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Densidade em \mathrm{m^{-3}}:
n = \frac{p}{k_B T}=\frac{1,33322\times10^{-4}}{4,072\times10^{-21}} =3,275\times10^{16}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Converter para \mathrm{cm^{-3}} (dividir por 10^{6}):
n = 3,275\times10^{16}\\ \mathrm{m^{-3}}\times 10^{-6} =3,275\times10^{10}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
Arredondando em função dos dados (~3 algarismos significativos):
n \approx 3,28\times10^{10}\\ \mathrm{moléculas\;por\;cm^{3}}.é

Passo 3

Agora vamos obter o livre caminho médio \lambda. Conceito e fórmula:
  • O livre caminho médio \lambda é a distância média que uma molécula percorre entre colisões com outras moléculas.
  • Para um gás de esferas duras, a fórmula (cinemática estatística) é
\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\, n\, \sigma},
onde \sigma é a seção eficaz de colisão entre duas moléculas. Para esferas duras de diâmetro d,
\sigma = \pi d^{2}.
Explicando as escolhas:
  • A seção eficaz \sigma=\pi d^{2} é a área “alvo” que uma molécula apresenta para outra; se o centro de uma molécula passar a uma distância menor que d do centro da outra, considera-se colisão.
  • O fator \sqrt{2} aparece porque estamos considerando velocidades relativas das moléculas (duas moléculas em movimento aumentam a taxa de colisão em \sqrt{2} em média para um gás isotrópico).
Observações de unidades:
  • Se n estiver em \mathrm{cm^{-3}} e d em \mathrm{cm}, então \sigma em \mathrm{cm^{2}} e \lambda sairá em \mathrm{cm}. É conveniente trabalhar em \mathrm{cm} aqui porque a pergunta (a) pediu por \mathrm{cm^{3}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números:
Dados que adotamos:
n = 3,275\times10^{10}\\ \mathrm{cm^{-3}},\qquad d = 2,00\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Seção eficaz:
\sigma = \pi d^{2} = \pi \left(2,00\times10^{-8}\right)^{2} = \pi \times 4,00\times10^{-16} =1,25664\times10^{-15}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Fator com \sqrt{2}:
\sqrt{2}\,\sigma = 1,41421356\times 1,25664\times10^{-15} =1,77636\times10^{-15}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Denominador da fórmula:
\sqrt{2}\, n\, \sigma = 1,77636\times10^{-15}\times 3,275\times10^{10} =5,82\times10^{-5}\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Logo o livre caminho médio:
\lambda = \frac{1}{5,82\times10^{-5}}\\ \mathrm{cm} =1,72\times10^{4}\\ \mathrm{cm}.
Converter para metros (opcional, para intuição):
1,72\times10^{4}\\ \mathrm{cm} = 1,72\times10^{2}\\ \mathrm{m} = 172\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: com o vácuo tão bom (pressão \sim10^{-6} torr), uma molécula viaja em média centenas de metros antes de colidir — por isso prótons em aceleradores raramente são defletidos por colisões com o gás residual.

Resposta

(a) 3,28\times10^{10}\\ \mathrm{moléculas\;por\;cm^{3}}é
(b) \;1,72\times10^{4}\\ \mathrm{cm} \;=\;1,72\times10^{2}\\ \mathrm{m}

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