Determine a solução geral de cada uma das equações:
2.
.
2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: determinar a solução geral
válida para
.
Informações relevantes fornecidas: coeficientes dependem de potências de (termos
e constante), o termo independente (lado direito) é a constante
, e o domínio é
(isso garante que
e potências fracionárias façam sentido).
Informações relevantes fornecidas: coeficientes dependem de potências de
Passo 2
Vamos resolver primeiro a parte homogênea associada:
Aqui usamos a técnica padrão para equações de Euler (também chamadas de Cauchy–Euler): procurar soluções do tipo
, onde
é um número a determinar. Isso funciona porque, para
,
Substituindo na equação homogênea obtemos
Fatorando
(que é diferente de zero para
) chegamos à equação característica
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Calculamos o discriminante
:
Como
, há uma raiz real dupla:
Para uma raiz dupla
da equação característica de uma Euler, as duas soluções independentes da homogênea são
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Observação: o fator
aparece porque, para raízes repetidas, a segunda solução é obtida por redução de ordem e resulta em multiplicar por
.)
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
O termo não homogêneo é a constante
, que pode ser visto como
. Para equações de Euler, uma tentativa padrão é assumir
com
igual ao expoente do termo do lado direito; aqui
, então tentamos
(constante). Antes de aceitar essa tentativa, verificamos se
é raiz da equação característica: a avaliação da característica em
é
, então
não é raiz e a tentativa com constante é válida.
Passo 5
Calculemos
. Se
então
e
. Substituindo na equação original:
Logo
Portanto uma solução particular é
.
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
válida para
. Podemos fazer uma checagem rápida: substituindo
na equação dá
, então a parte particular está correta; e a forma da homogênea foi obtida pela técnica padrão da equação de Euler com raiz dupla.