Determine a solução geral de cada uma das equações:
2. x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+0,25 y=9 . \quad x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+2xy'+0{,}25y=9,\qquad x>0.
O que se pede: determinar a solução geral y(x) válida para x>0.
Informações relevantes fornecidas: coeficientes dependem de potências de x (termos x^{2},x e constante), o termo independente (lado direito) é a constante 9, e o domínio é x>0 (isso garante que \ln x e potências fracionárias façam sentido).

Passo 2

Vamos resolver primeiro a parte homogênea associada:
x^{2}y''+2xy'+0{,}25y=0.
Aqui usamos a técnica padrão para equações de Euler (também chamadas de Cauchy–Euler): procurar soluções do tipo y=x^{m}, onde m é um número a determinar. Isso funciona porque, para y=x^{m},
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação homogênea obtemos
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+2x\bigl(m x^{m-1}\bigr)+0{,}25 x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que é diferente de zero para x>0) chegamos à equação característica
m(m-1)+2m+0{,}25=0.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
m(m-1)+2m+0{,}25=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}-m+2m+0{,}25=0
\Longrightarrow\quad m^{2}+m+0{,}25=0.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot0{,}25=1-1=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla:
m=\frac{-1}{2}.
Para uma raiz dupla m da equação característica de uma Euler, as duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}=x^{m},\qquad y_{2}=x^{m}\ln x.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}x^{-1/2}+C_{2}x^{-1/2}\ln x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Observação: o fator \ln x aparece porque, para raízes repetidas, a segunda solução é obtida por redução de ordem e resulta em multiplicar por \ln x.)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa
x^{2}y''+2xy'+0{,}25y=9.
O termo não homogêneo é a constante 9, que pode ser visto como 9x^{0}. Para equações de Euler, uma tentativa padrão é assumir y_{p}=A x^{k} com k igual ao expoente do termo do lado direito; aqui k=0, então tentamos y_{p}=A (constante). Antes de aceitar essa tentativa, verificamos se k=0 é raiz da equação característica: a avaliação da característica em m=0 é 0{,}25\neq0, então m=0 não é raiz e a tentativa com constante é válida.

Passo 5

Calculemos y_{p}. Se y_{p}=A então y'_{p}=0 e y''_{p}=0. Substituindo na equação original:
x^{2}\cdot0 + 2x\cdot0 + 0{,}25\cdot A = 9.
Logo
0{,}25A=9 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{9}{0{,}25}=36.
Portanto uma solução particular é y_{p}=36.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x^{-1/2}+C_{2}x^{-1/2}\ln x+36,
válida para x>0. Podemos fazer uma checagem rápida: substituindo y_{p}=36 na equação dá 0{,}25\cdot36=9, então a parte particular está correta; e a forma da homogênea foi obtida pela técnica padrão da equação de Euler com raiz dupla.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-1/2}+C_{2}x^{-1/2}\ln x+36

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