Dois fios longos paralelos são cortados pelo plano x y perpendicularmente. Cada um deles conduz uma corrente I no mesmo sentido. O fio 1 e fio 2 estão, respectivamente, a uma distância -d e +d da origem 0 .
a) Faça o diagrama do campo magnético, informando direção e sentido nos pontos P_{1}=-3 d, P_{2} na origem e P_{3}=2 d.
b) Determine \bar{B} no ponto P_{3} na origem.
c) Determine a força por unidade de comprimento do fio 1 em relação ao fio 2 , informando direção e sentido.

Passo 1

O enunciado dá duas linhas retas longas, paralelas e perpendiculares ao plano xy (logo os fios são paralelos ao eixo z). Cada fio conduz a mesma corrente I no mesmo sentido (vou tomar esse sentido como +z, isto é, correntes saindo do plano xy). O fio 1 está localizado em x=-d e o fio 2 em x=+d. São pedidos:
  • (a) Fazer o diagrama do campo magnético, indicando direção e sentido nos pontos P_{1} em x=-3d, P_{2} na origem x=0 e P_{3} em x=2d (todos os pontos sobre o eixo x no plano xy).
  • (b) Determinar \bar{B} no ponto P_{3} (ponto em x=2d).
  • (c) Determinar a força por unidade de comprimento que o fio 1 sofre devido ao fio 2, com direção e sentido.
Informações relevantes listadas: posições dos fios ( x=-d e x=+d), correntes iguais I no mesmo sentido (+z), pontos de interesse x=-3d,\;0,\;2d. Nada mais será assumido.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar e como aplicá‑lo (aula rápida): o campo magnético de um fio longo e retilíneo com corrente I é dado pela lei bem conhecida (resultado de Biot–Savart / Lei de Ampère):
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo,
  • r é a distância perpendicular do ponto ao fio,
  • B é a magnitude do campo magnético naquele ponto.
Direção: o campo forma linhas circulares ao redor do fio (linhas de corrente magnética fechadas). O sentido é dado pela regra da mão direita: polegar apontando na direção da corrente ( +z), os dedos enrolados mostram o sentido do campo. No plano xy, isso se traduz assim para um fio com corrente +z:
  • No lado direito do fio (pontos com x maior do que a coordenada do fio) o campo aponta na direção +\hat{y}.
  • No lado esquerdo do fio o campo aponta em -\hat{y}.
Quando há dois fios, aplicamos o princípio da superposição vetorial: somamos os campos vetoriais produzidos por cada fio no ponto desejado.

Passo 3

Aplicando as regras de direção ao ponto P_{1} em x=-3d:
  • Distância do ponto ao fio 1 ( x=-d) é |-3d-(-d)|=2d. Como o ponto está à esquerda do fio 1 (pois -3d < -d), o campo devido ao fio 1 aponta em -\hat{y}.
  • Distância do ponto ao fio 2 ( x=+d) é |-3d-(+d)|=4d. O ponto também está à esquerda do fio 2 (pois -3d < +d), então o campo devido ao fio 2 também aponta em -\hat{y}.
Conclusão (direção/sentido) para P_{1}: os campos dos dois fios têm o mesmo sentido -\hat{y}, portanto o campo total em P_{1} está apontando em -\hat{y}.

Passo 4

Aplicando as regras de direção ao ponto P_{2} na origem x=0:
  • Distância ao fio 1 ( x=-d) é |0-(-d)|=d. O ponto está à direita do fio 1 ( 0>-d), então o campo devido ao fio 1 aponta em +\hat{y}.
  • Distância ao fio 2 ( x=+d) é |0-(+d)|=d. O ponto está à esquerda do fio 2 ( 0<+d), então o campo devido ao fio 2 aponta em -\hat{y}.
As magnitudes dos dois campos são iguais porque as distâncias são iguais. Como os sentidos são opostos, os vetores se cancelam. Conclusão para P_{2}: o campo magnético total em P_{2} (origem) é nulo, \bar{B}=\vec{0}.

Passo 5

Aplicando as regras de direção e cálculo ao ponto P_{3} em x=2d (parte (b) pedida explicitamente):
  • Distância ao fio 1 ( x=-d) é |2d-(-d)|=3d. O ponto está à direita do fio 1 ( 2d>-d), então o campo devido ao fio 1 aponta em +\hat{y}. Magnitude:
B_{1}=\frac{\mu_0 I}{2\pi (3d)}.
  • Distância ao fio 2 ( x=+d) é |2d-(+d)|=d. O ponto está à direita do fio 2 ( 2d>+d), então o campo devido ao fio 2 também aponta em +\hat{y}. Magnitude:
B_{2}=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}.
Os dois campos têm o mesmo sentido +\hat{y}, logo somam-se. O campo total em P_{3} é:
\bar{B}(P_{3}) = (B_{1}+B_{2})\,\hat{y} = \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi (3d)}+\frac{\mu_0 I}{2\pi d}\right)\hat{y}.
Somando as frações:
\frac{1}{3d}+\frac{1}{d}=\frac{1+3}{3d}=\frac{4}{3d},
portanto
\bar{B}(P_{3})=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{4}{3d}\,\hat{y} =\frac{2\mu_0 I}{3\pi d}\,\hat{y}.

Passo 6

Agora a força por unidade de comprimento sobre o fio 1 causada pelo campo magnético do fio 2 (parte (c)):
Fórmula usada: a densidade de força (força por comprimento) sobre um fio com corrente I imerso num campo magnético \bar{B} é
\frac{\vec{F}}{L}=I\,\hat{l}\times\bar{B},
onde \hat{l} é o versor na direção da corrente (aqui \hat{l}=\hat{z}). Vamos usar o campo produzido pelo fio 2 no local do fio 1.
  • Distância entre fios é r=2d.
  • Campo produzido pelo fio 2 no local do fio 1 tem magnitude
B_{2\to1}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{\mu_0 I}{2\pi(2d)}=\frac{\mu_0 I}{4\pi d}.
Direção desse campo: o fio 1 está à esquerda do fio 2, e com corrente +z o campo à esquerda do fio 2 aponta em -\hat{y}. Logo \bar{B}_{2\to1}=-\dfrac{\mu_0 I}{4\pi d}\,\hat{y}.
  • Agora aplicamos \dfrac{\vec{F}}{L}=I\,\hat{z}\times\bar{B}_{2\to1}:
\frac{\vec{F}}{L}=I\,\hat{z}\times\left(-\frac{\mu_0 I}{4\pi d}\,\hat{y}\right) =-\frac{\mu_0 I^{2}}{4\pi d}\,\hat{z}\times\hat{y}.
Usando produto vetorial (ou a regra da mão direita): \hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}. Então
\frac{\vec{F}}{L}=-\frac{\mu_0 I^{2}}{4\pi d}\,(-\hat{x}) =\frac{\mu_0 I^{2}}{4\pi d}\,\hat{x}.
Interpretação: magnitude \dfrac{\mu_0 I^{2}}{4\pi d}, direção + x (isto é, o fio 1 é atraído em direção ao fio 2, como esperado para correntes no mesmo sentido).

Resposta

(a) Em P_{1} ( x=-3d): \bar{B} aponta em -\hat{y}.
Em P_{2} (origem): \bar{B}=\vec{0}.
Em P_{3} ( x=2d): \bar{B} aponta em +\hat{y}.
(b) \displaystyle \bar{B}(P_{3})=\frac{2\mu_{0}I}{3\pi d}\,\hat{y}.
(c) \displaystyle \frac{\vec{F}_{1\text{ devido a }2}}{L}=\frac{\mu_{0}I^{2}}{4\pi d}\,\hat{x} (atração, ou seja, fio 1 é puxado na direção positiva de x, em direção ao fio 2).

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