Se Um átomo de Hi for colocado num campo magnético muito forte comparado com o seu campo interno, faça uma tabela com as energias, incluindo todos os desdobramentos, para n=3 e 4 . Colocar explicitamente o valor do número quântico correspondente (não é necessário calcular numericamente o valor da energia, é só deixar expresso em termos dos números quânticos).

Passo 1

O enunciado pede que eu construa uma tabela com as energias, incluindo todos os desdobramentos (quebra de degenerescência), para os níveis com n=3 e n=4 de um átomo de hidrogênio quando ele é colocado em um campo magnético externo muito forte em relação ao seu campo interno.
Informações e exigências que o enunciado deu:
  1. O átomo é de hidrogênio.
  2. O campo magnético externo é “muito forte” comparado ao campo interno (ou seja, estamos no regime de campo forte — limite de Paschen–Back).
  3. Pedir uma tabela com todas as energias (todos os desdobramentos) para n=3 e n=4.
  4. Deve-se explicitar o valor do número quântico correspondente para cada energia.
  5. Não é necessário calcular numericamente os valores; basta expressá‑los em termos dos números quânticos (e constantes como \mu_B, g_s, etc.).

Passo 2

O que vamos usar (noções e fórmulas fundamentais, explicadas de forma didática):
  • Estados eletrônicos do hidrogênio são rotulados pelos números quânticos principais \,n, orbital \,l (com l=0,1,\dots,n-1), projeção do momento orbital \,m_l (com m_l=-l,\dots,+l) e spin \,m_s (com m_s=+\tfrac12 ou -\tfrac12). Esses quatro valores (n,l,m_l,m_s) identificam um estado quando spin-orbita é desprezível ou quando estamos em campo forte.
  • Energia de referência (sem campo magnético, nível de Bohr): E_n = -\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}.Aqui \,E_n é a energia do nível n na aproximação de Coulomb puro (degenerado em l,m_l sem perturbações).
  • Momento magnético orbital e de spin: o momento magnético devido ao momento orbital é \vec{\mu}_L = -\dfrac{e}{2m_e}\vec{L} = -\mu_B\frac{\vec{L}}{\hbar}, onde \mu_B é o magnetão de Bohr definido por \displaystyle \mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}. O momento magnético de spin é \vec{\mu}_S=-g_s\mu_B\frac{\vec{S}}{\hbar}, com g_s o fator giromagnético do elétron (aproximadamente g_s\approx 2).
  • Energia de interação Zeeman (para campo uniforme \vec{B}=B\hat{z}): \displaystyle H_Z = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}. Substituindo os momentos magnéticos e usando os autovalores L_z=m_l\hbar e S_z=m_s\hbar, obtemos a mudança de energia linear no campo (termo linear de Zeeman): \Delta E_Z = \mu_B B \bigl(m_l + g_s m_s\bigr).Observação sobre o sinal: foi usada a definição usual de \mu_B positiva e a expressão -\mu_z B leva ao sinal positivo acima quando m_l ou m_s são positivos.
  • No regime de campo externo muito forte (Paschen–Back), a interação spin‑órbita (que mistura l e s) é pequena frente ao termo Zeeman; portanto l, m_l, m_s permanecem bons números quânticos e a energia pode ser aproximada por soma da energia de Coulomb E_n mais o deslocamento Zeeman linear \Delta E_Z.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a expressão que vamos usar para todas as sub‑energias (essa fórmula é a ferramenta para construir a tabela):
Para qualquer estado |n,l,m_l,m_s\rangle no regime de campo forte, a energia (aproximação linear no campo, desprezando interações internas comparativamente pequenas) é
E(n,l,m_l,m_s)=E_n+\mu_B B\bigl(m_l+g_s\,m_s\bigr).
Nesta expressão:
  • \,E_n é a energia de Bohr do nível principal n, dada acima;
  • \mu_B é o magnetão de Bohr;
  • B é a intensidade do campo magnético externo;
  • g_s\approx 2 é o fator giromagnético do elétron (se desejarem precisão, usar g_s\simeq 2{,}0023, mas aqui mantemos g_s simbólico);
  • m_l e m_s são os números quânticos de projeção do momento orbital e do spin.

Passo 4

Agora vamos listar quais valores possíveis de (l,m_l,m_s) existem para cada n pedido — isto é necessário para construir “todas as linhas” da tabela. Vou enumerar os valores possíveis sem ainda substituir na fórmula final (a tabela final com as expressões virá no item de resposta).
Regras de contagem (lembrando de maneira didática):
  • Para um dado l 2l+1 valores possíveis de m_l, variando inteiros de -l a +l.
  • Para cada combinação de m_l há dois valores de m_s: +\tfrac12 e -\tfrac12.
  • Assim, para um subnível com dado l o número de subestados com spin é 2(2l+1).

Passo 5

Valores permitidos para n=3 (enumeração explícita de l,m_l,m_s) — sem ainda escrever as energias numéricas, apenas os conjuntos de Quantum Numbers que vão aparecer na tabela final:
  • n=3 permite l=0,1,2.
    • Para l=0: m_l=0. Para cada m_l temos m_s=+\tfrac12,-\tfrac12. (Total 2 estados.)
    • Para l=1: m_l=-1,0,+1. Para cada m_l temos m_s=+\tfrac12,-\tfrac12. (Total 6 estados.)
    • Para l=2: m_l=-2,-1,0,+1,+2. Para cada m_l temos m_s=+\tfrac12,-\tfrac12. (Total 10 estados.)
  • Soma total para n=3: 2+6+10=18 estados (o que corresponde a 2n^2=18, incluindo spin).

Passo 6

Valores permitidos para n=4:
  • n=4 permite l=0,1,2,3.
    • Para l=0: m_l=0. Com m_s=\pm\tfrac12. (Total 2.)
    • Para l=1: m_l=-1,0,1. Cada um com m_s=\pm\tfrac12. (Total 6.)
    • Para l=2: m_l=-2,-1,0,1,2. Cada um com m_s=\pm\tfrac12. (Total 10.)
    • Para l=3: m_l=-3,-2,-1,0,1,2,3. Cada um com m_s=\pm\tfrac12. (Total 14.)
  • Soma total para n=4: 2+6+10+14=32 estados (igual a 2n^2=32).

Passo 7

Como montar a tabela (instrução prática para a prova, passo a passo):
  1. Escreva E_n para o n em questão ( E_3 ou E_4).
  2. Para cada l permitido escreva todas as linhas com m_l variando de -l a +l.
  3. Para cada m_l escreva duas linhas (ou colunas) correspondentes a m_s=+\tfrac12 e m_s=-\tfrac12.
  4. Em cada linha coloque a fórmula \,E_n+\mu_B B(m_l+g_s m_s).
    Seguindo precisamente esses passos se obtém todas as energias pedidas; a lista completa com todas as combinações para n=3 e n=4 aparece abaixo na seção de resposta final.

Resposta

n=3, l=0:
(n,l,m_l,m_s)=(3,0,0,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(n,l,m_l,m_s)=(3,0,0,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
n=3, l=1:
(3,1,-1,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,1,-1,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(3,1,0,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,1,0,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(3,1,+1,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,1,+1,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
n=3, l=2:
(3,2,-2,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(-2+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,2,-2,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(-2+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(3,2,-1,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,2,-1,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(3,2,0,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,2,0,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(3,2,+1,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,2,+1,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(3,2,+2,+\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(+2+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(3,2,+2,-\tfrac12):\quad E=E_3+\mu_B B\bigl(+2+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
n=4, l=0:
(4,0,0,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,0,0,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
n=4, l=1:
(4,1,-1,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,1,-1,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,1,0,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,1,0,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,1,+1,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,1,+1,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
n=4, l=2:
(4,2,-2,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-2+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,2,-2,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-2+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,2,-1,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,2,-1,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,2,0,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,2,0,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,2,+1,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,2,+1,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,2,+2,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+2+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,2,+2,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+2+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
n=4, l=3:
(4,3,-3,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-3+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,-3,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-3+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,3,-2,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-2+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,-2,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-2+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,3,-1,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,-1,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(-1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,3,0,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,0,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(0+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,3,+1,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,+1,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+1+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,3,+2,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+2+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,+2,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+2+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(4,3,+3,+\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+3+g_s\cdot(+\tfrac12)\bigr)
(4,3,+3,-\tfrac12):\quad E=E_4+\mu_B B\bigl(+3+g_s\cdot(-\tfrac12)\bigr)
(Em todas as expressões acima, E_n denota \displaystyle E_n=-\dfrac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^{2}}, \mu_B é o magnetão de Bohr e g_s é o fator giromagnético do elétron, tipicamente aproximado por g_s\approx 2.)

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