Se Um átomo de Hi for colocado num campo magnético muito forte comparado com o seu campo interno, faça uma tabela com as energias, incluindo todos os desdobramentos, para
e 4 . Colocar explicitamente o valor do número quântico correspondente (não é necessário calcular numericamente o valor da energia, é só deixar expresso em termos dos números quânticos).
Passo 1
O enunciado pede que eu construa uma tabela com as energias, incluindo todos os desdobramentos (quebra de degenerescência), para os níveis com
e
de um átomo de hidrogênio quando ele é colocado em um campo magnético externo muito forte em relação ao seu campo interno.
Informações e exigências que o enunciado deu:
Informações e exigências que o enunciado deu:
- O átomo é de hidrogênio.
- O campo magnético externo é “muito forte” comparado ao campo interno (ou seja, estamos no regime de campo forte — limite de Paschen–Back).
- Pedir uma tabela com todas as energias (todos os desdobramentos) para
e . - Deve-se explicitar o valor do número quântico correspondente para cada energia.
- Não é necessário calcular numericamente os valores; basta expressá‑los em termos dos números quânticos (e constantes como
, , etc.).
Passo 2
O que vamos usar (noções e fórmulas fundamentais, explicadas de forma didática):
- Estados eletrônicos do hidrogênio são rotulados pelos números quânticos principais
, orbital (com ), projeção do momento orbital (com ) e spin (com ou ). Esses quatro valores identificam um estado quando spin-orbita é desprezível ou quando estamos em campo forte. - Energia de referência (sem campo magnético, nível de Bohr):
Aqui é a energia do nível na aproximação de Coulomb puro (degenerado em sem perturbações). - Momento magnético orbital e de spin: o momento magnético devido ao momento orbital é
, onde é o magnetão de Bohr definido por . O momento magnético de spin é , com o fator giromagnético do elétron (aproximadamente ). - Energia de interação Zeeman (para campo uniforme
): . Substituindo os momentos magnéticos e usando os autovalores e , obtemos a mudança de energia linear no campo (termo linear de Zeeman): Observação sobre o sinal: foi usada a definição usual de positiva e a expressão leva ao sinal positivo acima quando ou são positivos. - No regime de campo externo muito forte (Paschen–Back), a interação spin‑órbita (que mistura
e ) é pequena frente ao termo Zeeman; portanto , , permanecem bons números quânticos e a energia pode ser aproximada por soma da energia de Coulomb mais o deslocamento Zeeman linear .
Passo 3
Escrevendo explicitamente a expressão que vamos usar para todas as sub‑energias (essa fórmula é a ferramenta para construir a tabela):
Para qualquer estado no regime de campo forte, a energia (aproximação linear no campo, desprezando interações internas comparativamente pequenas) é
Para qualquer estado
Nesta expressão:
-
é a energia de Bohr do nível principal , dada acima; -
é o magnetão de Bohr; -
é a intensidade do campo magnético externo; -
é o fator giromagnético do elétron (se desejarem precisão, usar , mas aqui mantemos simbólico); -
e são os números quânticos de projeção do momento orbital e do spin.
Passo 4
Agora vamos listar quais valores possíveis de
existem para cada
pedido — isto é necessário para construir “todas as linhas” da tabela. Vou enumerar os valores possíveis sem ainda substituir na fórmula final (a tabela final com as expressões virá no item de resposta).
Regras de contagem (lembrando de maneira didática):
- Para um dado
há valores possíveis de , variando inteiros de a . - Para cada combinação de
há dois valores de : e . - Assim, para um subnível com dado
o número de subestados com spin é .
Passo 5
Valores permitidos para
(enumeração explícita de
) — sem ainda escrever as energias numéricas, apenas os conjuntos de Quantum Numbers que vão aparecer na tabela final:
-
permite . - Para
: . Para cada temos . (Total estados.) - Para
: . Para cada temos . (Total estados.) - Para
: . Para cada temos . (Total estados.)
- Para
- Soma total para
: estados (o que corresponde a , incluindo spin).
Passo 6
Valores permitidos para
:
-
permite . - Para
: . Com . (Total .) - Para
: . Cada um com . (Total .) - Para
: . Cada um com . (Total .) - Para
: . Cada um com . (Total .)
- Para
- Soma total para
: estados (igual a ).
Passo 7
Como montar a tabela (instrução prática para a prova, passo a passo):
- Escreva
para o em questão ( ou ). - Para cada
permitido escreva todas as linhas com variando de a . - Para cada
escreva duas linhas (ou colunas) correspondentes a e . - Em cada linha coloque a fórmula
.
Seguindo precisamente esses passos se obtém todas as energias pedidas; a lista completa com todas as combinações parae aparece abaixo na seção de resposta final.
Resposta
n=3,
:
n=3,
:
n=3,
:
n=4,
:
n=4,
:
n=4,
:
n=4,
:
(Em todas as expressões acima,
denota
,
é o magnetão de Bohr e
é o fator giromagnético do elétron, tipicamente aproximado por
.)