(2.0 pts) Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de
de massa preso a uma mola de constante elástica
. Em
, a posição e a velocidade do bloco são
人 e
. Calcule:
0,5 i) (0.5 pt) a energia mecânica deste sistema,
0,5 ii) (0.5 pt) a frequência angular,
0,9 iii) (0.5 pt) a posição
quando
,
0 iv ) ( 0.5 pt ) o máximo valor da velocidade
neste sistema.
0,5 i) (0.5 pt) a energia mecânica deste sistema,
0,5 ii) (0.5 pt) a frequência angular,
0,9 iii) (0.5 pt) a posição
0 iv ) ( 0.5 pt ) o máximo valor da velocidade
Passo 1
O enunciado dá um oscilador massa-mola com as seguintes informações (peguei esses valores do enunciado):
- massa:
. - constante elástica da mola:
. - em
a posição é e a velocidade é . - Convertendo posição para metros:
.
- Convertendo posição para metros:
O enunciado pede que eu calcule:
i) a energia mecânica do sistema;
ii) a frequência angular;
iii) a posição quando
;
iv) o valor máximo da velocidade neste sistema.
i) a energia mecânica do sistema;
ii) a frequência angular;
iii) a posição
iv) o valor máximo da velocidade
Passo 2
Entender a energia mecânica do oscilador harmônico simples (OHS).
Para um OHS sem atrito a energia mecânica total
é constante e é a soma da energia potencial elástica da mola e da energia cinética do bloco. No extremo onde a velocidade é zero e a posição é máxima
(amplitude), toda a energia é potencial elástica. Assim uso a fórmula:
onde:
-
é a constante elástica da mola, -
é a amplitude do movimento (a posição máxima), que aqui é .
Agora aplico os valores:
Calculo passo a passo:
Passo 3
Calcular a frequência angular
.
Para um oscilador massa-mola sem amortecimento a frequência angular é dada por
onde
e
já foram informados. Substituindo:
É útil dar uma forma exata e uma aproximação decimal. Note que
. Em valor decimal,
Passo 4
Encontrar a expressão temporal da posição
usando as condições iniciais.
A solução geral do movimento harmônico simples (MHS) para a posição é
onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular (calculada no passo anterior), -
é a fase inicial (constante determinada pelas condições iniciais).
Usando as condições iniciais em
:
Da segunda equação temos
. As soluções são
.
Da primeira equação, . Entre as soluções que tornam
, a que tem
é
.
Da primeira equação,
Logo
e a solução simplifica para
Com os valores conhecidos:
Passo 5
Calcular
em
passo a passo.
Substituo
na expressão:
Lembre que
, então
Em valor decimal
, então
Para avaliar
reduzimos usando a periodicidade
(porque
). Calculo:
Subtraindo,
Assim
.
Observando que
, escrevo
. Como
, temos
Agora calculo
por aproximação usando a expansão em série (suficiente para boa precisão aqui):
Com
:
Somando os termos:
Portanto
Finalmente
Em centímetros isso é aproximadamente
. O sinal negativo indica que o bloco está do lado oposto do equilíbrio em relação à posição inicial
.
Passo 6
Calcular o máximo valor da velocidade
.
A velocidade instantânea no MHS é
O valor máximo absoluto de
ocorre quando
. Assim o máximo em módulo é
Substituindo
e
,
Arredondando para três algarismos significativos:
.
Como checagem rápida, a energia cinética máxima
deve igualar a energia total
(pois quando a velocidade é máxima a posição passa pelo equilíbrio e a energia é cinética). Verificando:
que bate com o
do Passo 2.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) (≈
)
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)