(2.0 pts) Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de 2,0 \mathrm{~kg} de massa preso a uma mola de constante elástica 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Em t=0,0 s, a posição e a velocidade do bloco são x=x_{m}=10 \mathrm{~cm} 人 e v=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule:
0,5 i) (0.5 pt) a energia mecânica deste sistema,
0,5 ii) (0.5 pt) a frequência angular,
0,9 iii) (0.5 pt) a posição x quando t=5 s,
0 iv ) ( 0.5 pt ) o máximo valor da velocidade v neste sistema.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola com as seguintes informações (peguei esses valores do enunciado):
  • massa: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • constante elástica da mola: k=100\\ \mathrm{N/m}.
  • em t=0{,}0\\ \mathrm{s} a posição é x=x_m=10\\ \mathrm{cm} e a velocidade é v=0\\ \mathrm{m/s}.
    • Convertendo posição para metros: x_m=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede que eu calcule:
i) a energia mecânica do sistema;
ii) a frequência angular;
iii) a posição x quando t=5\\ \mathrm{s};
iv) o valor máximo da velocidade v neste sistema.

Passo 2

Entender a energia mecânica do oscilador harmônico simples (OHS).
Para um OHS sem atrito a energia mecânica total E é constante e é a soma da energia potencial elástica da mola e da energia cinética do bloco. No extremo onde a velocidade é zero e a posição é máxima A (amplitude), toda a energia é potencial elástica. Assim uso a fórmula:
E=\tfrac{1}{2}kA^{2},
onde:
  • k é a constante elástica da mola,
  • A é a amplitude do movimento (a posição máxima), que aqui é A=0{,}10\\ \mathrm{m}.
Agora aplico os valores:
E=\tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot(0{,}10)^{2}.
Calculo passo a passo:
(0{,}10)^{2}=0{,}010,
100\cdot 0{,}010=1{,}0,
E=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0=0{,}50\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega.
Para um oscilador massa-mola sem amortecimento a frequência angular é dada por
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},
onde k e m já foram informados. Substituindo:
\omega=\sqrt{\dfrac{100}{2{,}0}}=\sqrt{50}.
É útil dar uma forma exata e uma aproximação decimal. Note que \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}. Em valor decimal,
\omega=5\sqrt{2}\approx 7{,}07\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Encontrar a expressão temporal da posição x(t) usando as condições iniciais.
A solução geral do movimento harmônico simples (MHS) para a posição é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude,
  • \omega é a frequência angular (calculada no passo anterior),
  • \varphi é a fase inicial (constante determinada pelas condições iniciais).
Usando as condições iniciais em t=0:
x(0)=A\cos(\varphi)=0{,}10\\ \mathrm{m},
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\quad\Rightarrow\quad v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=0.
Da segunda equação temos \sin(\varphi)=0. As soluções são \varphi=0,\pi,2\pi,\ldots.
Da primeira equação, \cos(\varphi)=x(0)/A=1. Entre as soluções que tornam \sin(\varphi)=0, a que tem \cos(\varphi)=1 é \varphi=0.
Logo \varphi=0 e a solução simplifica para
x(t)=A\cos(\omega t).
Com os valores conhecidos:
x(t)=0{,}10\cos\bigl((5\sqrt{2})\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular x em t=5\\ \mathrm{s} passo a passo.
Substituo t=5 na expressão:
x(5)=0{,}10\cos\bigl(\omega\cdot 5\bigr)=0{,}10\cos\bigl(5\omega\bigr).
Lembre que \omega=5\sqrt{2}, então
5\omega=5\cdot 5\sqrt{2}=25\sqrt{2}\\ \text{rad}.
Em valor decimal \omega\approx 7{,}0710678\\ \mathrm{rad/s}, então
5\omega\approx 35{,}355339.
Para avaliar \cos(35{,}355339) reduzimos usando a periodicidade 2\pi (porque \cos(\theta+2\pi n)=\cos\theta). Calculo:
2\pi\approx 6{,}2831853,\qquad 5\cdot 2\pi\approx 31{,}4159265.
Subtraindo,
35{,}355339-31{,}4159265=3{,}9394125\\ \text{rad}.
Assim \cos(35{,}355339)=\cos(3{,}9394125).
Observando que \pi\approx 3{,}1415927, escrevo 3{,}9394125=\pi+0{,}7978198. Como \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta, temos
\cos(3{,}9394125)=-\cos(0{,}7978198).
Agora calculo \cos(0{,}7978198) por aproximação usando a expansão em série (suficiente para boa precisão aqui):
\cos\theta\approx 1-\dfrac{\theta^{2}}{2}+\dfrac{\theta^{4}}{24}-\dfrac{\theta^{6}}{720}+\cdots
Com \theta=0{,}7978198:
\theta^{2}\approx 0{,}636513,\quad \dfrac{\theta^{2}}{2}\approx 0{,}3182565,
\theta^{4}\approx 0{,}405138,\quad \dfrac{\theta^{4}}{24}\approx 0{,}01688,
\theta^{6}\approx 0{,}2587,\quad \dfrac{\theta^{6}}{720}\approx 0{,}00036.
Somando os termos:
\cos(0{,}7978198)\approx 1-0{,}3182565+0{,}01688-0{,}00036\approx 0{,}69826.
Portanto
\cos(3{,}9394125)\approx -0{,}69826.
Finalmente
x(5)=0{,}10\cdot(-0{,}69826)\approx -0{,}06983\\ \mathrm{m}.
Em centímetros isso é aproximadamente -6{,}98\\ \mathrm{cm}. O sinal negativo indica que o bloco está do lado oposto do equilíbrio em relação à posição inicial +10\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular o máximo valor da velocidade v_{\max}.
A velocidade instantânea no MHS é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
O valor máximo absoluto de |v| ocorre quando |\sin(\cdot)|=1. Assim o máximo em módulo é
v_{\max}=A\omega.
Substituindo A=0{,}10\\ \mathrm{m} e \omega=5\sqrt{2}\approx 7{,}071\\ \mathrm{rad/s},
v_{\max}=0{,}10\cdot 7{,}071\approx 0{,}7071\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para três algarismos significativos: v_{\max}\approx 0{,}707\\ \mathrm{m/s}.
Como checagem rápida, a energia cinética máxima \tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2} deve igualar a energia total E (pois quando a velocidade é máxima a posição passa pelo equilíbrio e a energia é cinética). Verificando:
\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot(0{,}7071)^{2}\approx 1{,}0\cdot 0{,}5=0{,}50\\ \mathrm{J},
que bate com o E do Passo 2.

Resposta

(i) E=0{,}50\\ \mathrm{J}
(ii) \omega=5\sqrt{2}\approx 7{,}07\\ \mathrm{rad/s}
(iii) x(5)\approx -0{,}06983\\ \mathrm{m} (≈ -6{,}98\\ \mathrm{cm})
(iv) v_{\max}\approx 0{,}707\\ \mathrm{m/s}

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