Um fio de
de comprimento tem massa de
e é mantido sob uma tração de 122 N . O fio está sustentado rigidamente pelas duas extremidades e é posto a vibrar. Calcule (a) a velocidade das ondas no fio. (b) os comprimentos de onda das ondas estacionárias que podem se estabelecer no fio com um e dois laços e (c) as frequências das ondas determinadas no item (b).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Dados fornecidos:
Observação: peguei a massa do enunciado e converti para quilogramas no passo seguinte. - Perguntas:
(a) Calcular a velocidade das ondas no fio.
(b) Calcular os comprimentos de onda das ondas estacionárias que podem se estabelecer no fio com um e dois laços (ou seja, primeiro e segundo modos).
(c) Calcular as frequências correspondentes aos comprimentos de onda do item (b).
Passo 2
Primeiro precisamos da densidade linear de massa do fio, que é a massa por unidade de comprimento. É importante converter a massa para quilogramas, porque o SI pede quilograma para usar a fórmula de velocidade.
A conversão e a definição são:
A conversão e a definição são:
Substituindo:
Explicação didática:
(lê-se “mu”) é quanto de massa existe em cada metro do fio. É essencial porque a velocidade das ondas numa corda depende da tensão e de quanta massa a corda carrega por metro.
Passo 3
Fórmula da velocidade de ondas transversais em um fio tenso:
onde
é a velocidade (m/s),
é a tensão (N) e
é a densidade linear de massa (kg/m). Essa fórmula vem da relação entre força restauradora (tensão) e inércia (massa por comprimento) nas pequenas oscilações da corda.
Agora aplicamos com os valores:
Agora aplicamos com os valores:
Calculemos:
Arredondando com três algarismos significativos (condizente com os dados), tomamos
Passo 4
Agora sobre ondas estacionárias em um fio com as extremidades fixas: nas extremidades há sempre nós (pontos que não se movem). Para o
-ésimo modo (ou
laços), o comprimento de onda permitido é
Explicação física simples: o modo fundamental (
) tem um único “laço” (um ventre entre dois nós), ocupando meio comprimento de onda no fio; por isso
. Para
há dois laços e cada laço ocupa um quarto do comprimento de onda total, logo
. Essa fórmula é padrão para cordas fixas nas duas extremidades.
Passo 5
Aplicando a fórmula para um e dois laços:
- Um laço (
): - Dois laços (
):
Comentário prático: o comprimento de onda do segundo modo é exatamente metade do do primeiro modo, como era de esperar.
Passo 6
Frequência de uma onda relacionada à velocidade e ao comprimento de onda:
Para os modos da corda podemos escrever diretamente
Isso mostra que as frequências dos modos são múltiplos inteiros da fundamental (
).
Passo 7
Calculemos as frequências para
e
usando
:
- Para
: - Para
:
Observação:
é aproximadamente o dobro de
, conforme a relação harmônica
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)