Um fio de 1,48 \mathrm{~m} de comprimento tem massa de 8,62 \mathrm{~g} e é mantido sob uma tração de 122 N . O fio está sustentado rigidamente pelas duas extremidades e é posto a vibrar. Calcule (a) a velocidade das ondas no fio. (b) os comprimentos de onda das ondas estacionárias que podem se estabelecer no fio com um e dois laços e (c) as frequências das ondas determinadas no item (b).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Dados fornecidos: L = 1,48\\ \mathrm{m},\qquad m = 8,62\\ \mathrm{g},\qquad T = 122\\ \mathrm{N}.Observação: peguei a massa do enunciado e converti para quilogramas no passo seguinte.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a velocidade das ondas no fio.
    (b) Calcular os comprimentos de onda das ondas estacionárias que podem se estabelecer no fio com um e dois laços (ou seja, primeiro e segundo modos).
    (c) Calcular as frequências correspondentes aos comprimentos de onda do item (b).

Passo 2

Primeiro precisamos da densidade linear de massa do fio, que é a massa por unidade de comprimento. É importante converter a massa para quilogramas, porque o SI pede quilograma para usar a fórmula de velocidade.
A conversão e a definição são:
m = 8,62\\ \mathrm{g} = 0,00862\\ \mathrm{kg}
\mu = \frac{m}{L}
Substituindo:
\mu = \frac{0,00862}{1,48}=0,00582\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação didática: \mu (lê-se “mu”) é quanto de massa existe em cada metro do fio. É essencial porque a velocidade das ondas numa corda depende da tensão e de quanta massa a corda carrega por metro.

Passo 3

Fórmula da velocidade de ondas transversais em um fio tenso:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde v é a velocidade (m/s), T é a tensão (N) e \mu é a densidade linear de massa (kg/m). Essa fórmula vem da relação entre força restauradora (tensão) e inércia (massa por comprimento) nas pequenas oscilações da corda.
Agora aplicamos com os valores:
v=\sqrt{\frac{122}{0,00582}}.
Calculemos:
\frac{122}{0,00582}\approx 20942\quad\Rightarrow\quad v\approx \sqrt{20942}\approx 144,8\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos (condizente com os dados), tomamos
v\approx 145\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora sobre ondas estacionárias em um fio com as extremidades fixas: nas extremidades há sempre nós (pontos que não se movem). Para o n-ésimo modo (ou n laços), o comprimento de onda permitido é
\lambda_n=\frac{2L}{n},\quad n=1,2,3,\dots
Explicação física simples: o modo fundamental ( n=1) tem um único “laço” (um ventre entre dois nós), ocupando meio comprimento de onda no fio; por isso \lambda_1=2L. Para n=2 há dois laços e cada laço ocupa um quarto do comprimento de onda total, logo \lambda_2=L. Essa fórmula é padrão para cordas fixas nas duas extremidades.

Passo 5

Aplicando a fórmula para um e dois laços:
  • Um laço ( n=1): \lambda_1=\frac{2L}{1}=2L=2\times 1,48=2,96\\ \mathrm{m}.
  • Dois laços ( n=2): \lambda_2=\frac{2L}{2}=L=1,48\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: o comprimento de onda do segundo modo é exatamente metade do do primeiro modo, como era de esperar.

Passo 6

Frequência de uma onda relacionada à velocidade e ao comprimento de onda:
f=\frac{v}{\lambda}.
Para os modos da corda podemos escrever diretamente
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{v}{2L/n}=\frac{n\,v}{2L}.
Isso mostra que as frequências dos modos são múltiplos inteiros da fundamental ( f_n=n f_1).

Passo 7

Calculemos as frequências para n=1 e n=2 usando v\approx 145\\ \mathrm{m/s}:
  • Para n=1: f_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{145}{2,96}\approx 48,9\\ \mathrm{Hz}.
  • Para n=2: f_2=\frac{v}{\lambda_2}=\frac{145}{1,48}\approx 97,8\\ \mathrm{Hz}.
Observação: f_2 é aproximadamente o dobro de f_1, conforme a relação harmônica f_n=n f_1.

Resposta

(a) v\approx 145\\ \mathrm{m/s}
(b) \lambda_{n=1}=2,96\\ \mathrm{m} \lambda_{n=2}=1,48\\ \mathrm{m}
(c) f_{n=1}\approx 48,9\\ \mathrm{Hz} \;f_{n=2}\approx 97,8\\ \mathrm{Hz}

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