Um certo analgésico possui uma meia-vida de 20 horas a 25^{\circ} \mathrm{C}. A sua degradação no organismo segue uma cinética de primeira ordem, com uma energia de ativação de 60 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Considerando que a temperatura corporal média é de 40^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo levará para que 75 \% da concentração inicial do fármaco seja degradada o corpo humano?

Passo 1

O enunciado trata de cinética de degradação de primeira ordem de um fármaco. Sabemos que a meia-vida a T_1=25^\circ\mathrm{C} é t_{1/2,1}=20 h e que a energia de ativação é E_a=60,kJ/mol. Precisamos encontrar o tempo necessário para que 75\% da droga seja degradada a T_2=40^\circ\mathrm{C}. Usaremos (1) a relação entre meia-vida e constante de velocidade para reação de primeira ordem e (2) a equação de Arrhenius para ajustar k à nova temperatura.

Passo 2

Para cinética de primeira ordem, a constante de velocidade a T_1 é
k_1 = \frac{\ln 2}{t_{1/2,1}} = \frac{\ln 2}{20\\ \mathrm{h}}.

Passo 3

A equação de Arrhenius dá a razão entre as constantes a duas temperaturas:
\frac{k_2}{k_1} = \exp\Bigl[-\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\Bigr)\Bigr],
onde R=8{,}314,J/(mol\cdot K), T_1=25+273{,}15=298{,}15,K e T_2=40+273{,}15=313{,}15,K.

Passo 4

Calculamos o expoente:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1} =\frac{1}{313{,}15}-\frac{1}{298{,}15} \approx -1{,}608\times10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}},
-\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Bigr) \approx -\frac{60000}{8{,}314}\bigl(-1{,}608\times10^{-4}\bigr) \approx 1{,}1605.
Logo,
\frac{k_2}{k_1} = e^{1,1605}\approx3{,}19,
k_1 = \frac{\ln2}{20}\approx0{,}0347\\ \mathrm{h^{-1}}, \quad k_2 = 3{,}19\times0{,}0347\approx0{,}1106\\ \mathrm{h^{-1}}.

Passo 5

Para degradar 75\% do fármaco, resta 25\%, ou seja \frac{C}{C_0}=0{,}25. Na cinética de primeira ordem:
\frac{C}{C_0} = e^{-k_2\,t} \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}25)}{k_2} = \frac{\ln(4)}{k_2}.
Como \ln(4)=1{,}3863, temos
t = \frac{1{,}3863}{0{,}1106}\approx12{,}53\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 12{,}5 horas.

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