Em um dado dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira de 0, 6 nm de largura e 9 eV de altura entre dois fios condutores. Elétrons acelerados com 4V se aproximam da barreira. Qual a fração dos elétrons incidentes irá tunelar através da barreira? Resposta: 4,3×10 ^-6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um dispositivo semicondutor onde temos uma barreira de óxido com 0,6 nm de largura e 9 eV de altura entre dois fios condutores. Queremos descobrir qual a fração de elétrons que conseguem “tunelar” através dessa barreira quando são acelerados com 4V. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente o efeito túnel. Vamos precisar aplicar a fórmula do coeficiente de transmissão para calcular a probabilidade de tunelamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na mecânica quântica, partículas como elétrons têm uma certa probabilidade de atravessar barreiras de potencial, mesmo que sua energia seja menor que a altura da barreira. Isso é diferente da física clássica, onde a partícula não teria chance de passar se não tiver energia suficiente.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Largura da barreira (a): 0,6 nm = 0,6 × 10⁻⁹ m
  • Altura da barreira (V₀): 9 eV
  • Energia dos elétrons (E): 4V → 4 eV (já que a energia cinética dos elétrons é igual ao produto da carga elétrica pela voltagem aplicada)

Passo 4

Para calcular a fração de elétrons que tunelam, usamos a fórmula do coeficiente de transmissão (T) para tunelamento quântico:
T approx e^-2 gamma a
Onde:
gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2
  • m é a massa do elétron: $ 9,11 \times 10^{-31} $ kg
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida: $ 1,054 \times 10^{-34} $ J·s
  • $ V_0 - E $ é a diferença entre a altura da barreira e a energia dos elétrons.

Passo 5

Vamos converter as energias de eV para Joules, já que as constantes estão em unidades do SI:
  • $ 1 , eV = 1,602 \times 10^{-19} , J $
  • $ V_0 = 9 , eV = 9 \times 1,602 \times 10^{-19} , J = 1,4418 \times 10^{-18} , J $
  • $ E = 4 , eV = 4 \times 1,602 \times 10^{-19} , J = 6,408 \times 10^{-19} , J $

Passo 6

Calculando $ V_0 - E $:
V0 - E

Passo 7

Agora, calculamos $ \gamma $:
gamma
Substituindo os valores:
gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2
gamma = raiz2 times 9,11 times 10^-31 , kg times 8,009 times 10^-19 , J(1,054 times 10^-34 , J·s)^2 ²²
gamma approx raiz1,458 times 10^-48 , kg·J1,111 times 10^-68 , J²·s² ²
gamma approx raiz1,312 times 10^20 , s²/kg

Passo 8

Agora, calculamos o coeficiente de transmissão (T):
T approx e^-2 gamma a
Substituindo os valores:
T approx e^-2 times 1,146 times 10^10 , s/kg^0.5 times 0,6 times 10^-9 , m
T approx e^-2 times 1,146 times 10^10 times 0,6 times 10^-9
T approx e^-13,752

Passo 9

Calculando $ e^{-13,752} $:
e^-13,752

Resposta

A fração dos elétrons incidentes que irá tunelar através da barreira é aproximadamente $ 4,3 \times 10^{-6} $.

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