Um certo componente mecânico apresenta taxa de falhas constante com valor de
falhas por hora. Calcule a probabilidade de o componente sobreviver pelo período de 104 horas. Caso um cliente adquirisse um lote desse componente e fizesse um teste de 5000 horas em uma amostra contendo componentes, quantos deles falhariam durante o teste?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
falhas por hora (taxa de falhas constante).
Dois tempos mencionados:horas e horas. -
Perguntas:
- Calcular a probabilidade de o componente sobreviver pelo período de
horas. - Se um cliente testasse uma amostra por
horas, quantos componentes dessa amostra falhariam durante o teste?
- Calcular a probabilidade de o componente sobreviver pelo período de
-
Observação importante: o enunciado não informou o tamanho da amostra (ou seja, não informou o valor de
). Para responder “quantos falhariam” é necessário saber . Vou, portanto, (a) calcular a probabilidade de falha em horas por componente e (b) dar a fórmula para o número esperado de falhas em uma amostra de tamanho . Não vou pedir o valor de ; apenas apresento a expressão que permite calcular o valor assim que for conhecido.
Passo 2
Entendendo o modelo (explicação didática, sem pular etapas).
- Quando a taxa de falhas é constante no tempo (ou seja, a probabilidade instantânea de falha por unidade de tempo é sempre
), o tempo até a falha de um componente segue a distribuição exponencial. - A função de sobrevivência (probabilidade de não ter falhado até o tempo
) para a exponencial é
Aqui:
-
é a taxa de falhas (falhas por hora); -
é o tempo em horas; -
é a probabilidade de o componente sobreviver pelo menos até . - A probabilidade de o componente falhar antes ou até o tempo
é
- Intuição simples: com
pequeno e pequeno, fica próximo de 1 (alta sobrevivência); com grande, decai e a probabilidade de falhar aumenta.
Passo 3
Aplicando para
horas: cálculo do produto
.
- Primeiro calculemos
:
- Faça a conta em pedaços:
e . Somando,
Passo 4
Calcule a probabilidade de sobrevivência em
horas e interprete.
- Usando a fórmula da sobrevivência:
- Para avaliar
sem calculadora exata, podemos usar a expansão em série (suficiente para boa precisão para valores pequenos de ):
com
. Calculando os termos principais:
Somando,
- Em porcentagem, isso é aproximadamente
. - A probabilidade de falhar antes ou em
horas é (ou cerca de ).
Passo 5
Agora para
horas: calcule a probabilidade de falha por componente no período de
horas.
- Primeiro calcule
:
- Calcule passo a passo:
. Como havia o fator , obtemos
- A probabilidade de falha em
horas é
- Avaliando
por série (ou por conhecimento de valores):
- Em porcentagem, cerca de
. Ou seja, cada componente tem aproximadamente de chance de falhar durante horas.
Passo 6
Como obter o número esperado de falhas numa amostra de tamanho
(expliquei antes que
não foi dado).
- Supondo que as falhas dos componentes sejam independentes e cada componente tem probabilidade
de falhar no teste de horas, o número de falhas segue uma distribuição binomial . - O valor esperado (média) do número de falhas é
- Substituindo o valor numérico de
,
- Como o enunciado não informou
, não é possível dar um número absoluto de falhas; apenas esta expressão (ou o valor percentual por unidade). Se você me disser eu já teria o número esperado direto.
Passo 7
Resumo interpretativo e dicas para prova (como aplicar na hora, rápido e sem erro):
- Para taxa constante use sempre
para sobrevivência e para probabilidade de falha até . - Multiplique
por com cuidado de notação científica; muitas questões exigem multiplicações como que resultam em números pequenos. - Para número esperado de falhas em uma amostra use
. - Se precisar de porcentagem, multiplique por
.