Um certo componente mecânico apresenta taxa de falhas constante com valor de 2,5 \mathrm{x} 10^{-5} falhas por hora. Calcule a probabilidade de o componente sobreviver pelo período de 104 horas. Caso um cliente adquirisse um lote desse componente e fizesse um teste de 5000 horas em uma amostra contendo componentes, quantos deles falhariam durante o teste?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    \lambda = 2{,}5 \times 10^{-5} falhas por hora (taxa de falhas constante).
    Dois tempos mencionados: t_1 = 104 horas e t_2 = 5000 horas.
  • Perguntas:
    1. Calcular a probabilidade de o componente sobreviver pelo período de \,104 horas.
    2. Se um cliente testasse uma amostra por \,5000 horas, quantos componentes dessa amostra falhariam durante o teste?
  • Observação importante: o enunciado não informou o tamanho da amostra (ou seja, não informou o valor de n). Para responder “quantos falhariam” é necessário saber n. Vou, portanto, (a) calcular a probabilidade de falha em \,5000 horas por componente e (b) dar a fórmula para o número esperado de falhas em uma amostra de tamanho n. Não vou pedir o valor de n; apenas apresento a expressão que permite calcular o valor assim que n for conhecido.

Passo 2

Entendendo o modelo (explicação didática, sem pular etapas).
  • Quando a taxa de falhas é constante no tempo (ou seja, a probabilidade instantânea de falha por unidade de tempo é sempre \lambda), o tempo até a falha de um componente segue a distribuição exponencial.
  • A função de sobrevivência (probabilidade de não ter falhado até o tempo t) para a exponencial é
S(t)=e^{-\lambda t}.
Aqui:
  • \lambda é a taxa de falhas (falhas por hora);
  • t é o tempo em horas;
  • S(t) é a probabilidade de o componente sobreviver pelo menos até t.
  • A probabilidade de o componente falhar antes ou até o tempo t é
F(t)=1-S(t)=1-e^{-\lambda t}.
  • Intuição simples: com \lambda pequeno e t pequeno, e^{-\lambda t} fica próximo de 1 (alta sobrevivência); com t grande, e^{-\lambda t} decai e a probabilidade de falhar aumenta.

Passo 3

Aplicando para t_1=104 horas: cálculo do produto \lambda t.
  • Primeiro calculemos \lambda t_1:
\lambda t_1 = 2{,}5\times 10^{-5}\times 104.
  • Faça a conta em pedaços: 2{,}5\times 10^{-5}\times 100 = 0{,}0025 e 2{,}5\times 10^{-5}\times 4 = 0{,}0001. Somando,
\lambda t_1 = 0{,}0025 + 0{,}0001 = 0{,}0026.

Passo 4

Calcule a probabilidade de sobrevivência em 104 horas e interprete.
  • Usando a fórmula da sobrevivência:
S(104)=e^{-\lambda\cdot 104}=e^{-0{,}0026}.
  • Para avaliar e^{-0{,}0026} sem calculadora exata, podemos usar a expansão em série (suficiente para boa precisão para valores pequenos de x):
e^{-x}\approx 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots
com x=0{,}0026. Calculando os termos principais:
1 - 0{,}0026 + \frac{(0{,}0026)^2}{2} \approx 1 - 0{,}0026 + \frac{0{,}00000676}{2} \approx 1 - 0{,}0026 + 0{,}00000338.
Somando,
S(104)\approx 0{,}99740338.
  • Em porcentagem, isso é aproximadamente 99{,}7403\%.
  • A probabilidade de falhar antes ou em 104 horas é 1-S(104)\approx 0{,}00259662 (ou cerca de 0{,}2597\%).

Passo 5

Agora para t_2=5000 horas: calcule a probabilidade de falha por componente no período de 5000 horas.
  • Primeiro calcule \lambda t_2:
\lambda t_2 = 2{,}5\times 10^{-5}\times 5000.
  • Calcule passo a passo: 2{,}5\times 5000=12500. Como havia o fator 10^{-5}, obtemos
\lambda t_2 = 12500\times 10^{-5} = 0{,}125.
  • A probabilidade de falha em 5000 horas é
p_{\text{falha},5000}=1-e^{-\lambda\cdot 5000}=1-e^{-0{,}125}.
  • Avaliando e^{-0{,}125} por série (ou por conhecimento de valores):
e^{-0{,}125}\approx 0{,}8824969\quad\Rightarrow\quad p_{\text{falha},5000}\approx 1-0{,}8824969=0{,}1175031.
  • Em porcentagem, cerca de 11{,}7503\%. Ou seja, cada componente tem aproximadamente 11{,}75\% de chance de falhar durante 5000 horas.

Passo 6

Como obter o número esperado de falhas numa amostra de tamanho n (expliquei antes que n não foi dado).
  • Supondo que as falhas dos componentes sejam independentes e cada componente tem probabilidade p_{\text{falha},5000}=1-e^{-\lambda\cdot 5000} de falhar no teste de 5000 horas, o número de falhas segue uma distribuição binomial \text{Binomial}(n,p_{\text{falha},5000}).
  • O valor esperado (média) do número de falhas é
\mathbb{E}[\text{falhas}] = n\cdot p_{\text{falha},5000}.
  • Substituindo o valor numérico de p_{\text{falha},5000},
\mathbb{E}[\text{falhas}] \;=\; n\left(1-e^{-0{,}125}\right)\;\approx\;0{,}1175031\,n.
  • Como o enunciado não informou n, não é possível dar um número absoluto de falhas; apenas esta expressão (ou o valor percentual por unidade). Se você me disser n eu já teria o número esperado direto.

Passo 7

Resumo interpretativo e dicas para prova (como aplicar na hora, rápido e sem erro):
  • Para taxa constante use sempre S(t)=e^{-\lambda t} para sobrevivência e 1-e^{-\lambda t} para probabilidade de falha até t.
  • Multiplique \lambda por t com cuidado de notação científica; muitas questões exigem multiplicações como \,2{,}5\times 10^{-5}\times 104 que resultam em números pequenos.
  • Para número esperado de falhas em uma amostra use n(1-e^{-\lambda t}).
  • Se precisar de porcentagem, multiplique por 100\%.

Resposta

\displaystyle S(104)=e^{-2{,}5\times 10^{-5}\cdot 104}=e^{-0{,}0026}\approx 0{,}997403 (aprox. 99{,}7403\% de sobreviver).
\displaystyle \text{Número esperado de falhas em }5000\text{ h }=n\bigl(1-e^{-2{,}5\times 10^{-5}\cdot 5000}\bigr)=n(1-e^{-0{,}125})\approx 0{,}1175031\,n.ú

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