Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a transformada de Laplace da funçao đada.
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t<2 \\(t-2)^{2}, & t \geq 2\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por \[f(t)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[4pt] (t-2)^2, & t\ge 2. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
  • A função vale zero antes de t=2\]. - Para \(t\ge 2 a função é (t-2)^2.
    A tarefa é calcular \mathcal{L}\{f\}(s), a transformada de Laplace de f.]

Passo 2

Vou reescrever f(t)\) usando a função degrau (função unitária deslocada). Definimos a função degrau deslocada por \[u(t-a)=\begin{cases} 0, & t<a,\\[4pt] 1, & t\ge a, \end{cases}
para um real a\]. Usando isso, podemos escrever \[f(t)=(t-2)^2\,u(t-2).\] Isso é só uma reescrita conveniente: multiplicando \((t-2)^2 por u(t-2) garantimos que a expressão vale zero para t<2 e vale (t-2)^2 para t\ge2.]

Passo 3

Existe um resultado muito útil (teorema do deslocamento no tempo) que diz o seguinte: se g(t) é uma função com transformada de Laplace \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então para qualquer a>0
\mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,G(s).
Aqui a é o deslocamento no tempo, s é a variável da transformada, e G(s) é a transformada de g(t) quando g é considerada a partir de 0. Intuição rápida: deslocar no tempo corresponde a multiplicar por um fator exponencial e^{-a s} na frequência.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso: temos f(t)=(t-2)^2u(t-2), ou seja, é da forma g(t-2)u(t-2) com g(\tau)=\tau^2 (onde \tau representa a variável de tempo “centralizada” no deslocamento). Pelo teorema,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=e^{-2s}\,\mathcal{L}\{\tau^2\}(s),
onde \mathcal{L}\{\tau^2\}(s) é a transformada da função \tau\mapsto \tau^2 tomada a partir de 0.

Passo 5

Agora calculamos \mathcal{L}\{\tau^2\}(s) diretamente pela integral definidora:
\mathcal{L}\{\tau^2\}(s)=\int_{0}^{\infty}\tau^2 e^{-s\tau}\,d\tau.
Vamos calcular essa integral usando integração por partes duas vezes. Seja
I=\int_{0}^{\infty}\tau^2 e^{-s\tau}\,d\tau.
Primeira integração por partes: tome u=\tau^2 e dv=e^{-s\tau}d\tau. Então du=2\tau d\tau e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s\tau}. Aplicando:
I=\Big[-\frac{\tau^2}{s}e^{-s\tau}\Big]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}\tau e^{-s\tau}\,d\tau.
O termo de contorno é zero porque e^{-s\tau} decai mais rápido que \tau^2 cresce (assumimos s>0), e no 0 o produto também é zero. Então
I=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}\tau e^{-s\tau}\,d\tau.
Segunda integração por partes para J=\int_{0}^{\infty}\tau e^{-s\tau}\,d\tau: tome u=\tau, dv=e^{-s\tau}d\tau. Então du=d\tau, v=-\dfrac{1}{s}e^{-s\tau}. Assim
J=\Big[-\frac{\tau}{s}e^{-s\tau}\Big]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau}\,d\tau.
Novamente o termo de contorno é zero, e a integral restante é \dfrac{1}{s}. Portanto
J=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Substituindo em I:
I=\frac{2}{s}J=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Logo \mathcal{L}\{\tau^2\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}} para s>0.

Passo 6

Voltando ao resultado do deslocamento (Passo 4) e usando o valor de \mathcal{L}\{\tau^2\}(s) do Passo 5, concluímos a transformada de \,f(t)\,. (Não escrevo a forma final aqui porque a resposta final deve aparecer apenas no campo de resposta.)

Passo 7

Como verificação rápida: poderia também calcular diretamente pela integral
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt=\int_{2}^{\infty}(t-2)^{2}e^{-st}\,dt.
Fazendo a substituição u=t-2 \int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-s(u+2)}du=e^{-2s}\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-su}du, e essa última integral é justamente \dfrac{2}{s^{3}}, o que confirma o resultado obtido acima.

Resposta

\dfrac{2e^{-2s}}{s^{3}}

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