Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a transformada de Laplace da funçao đada.
)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
Informações dadas que vamos usar:
- A função vale zero antes de
a função é
.
A tarefa é calcular, a transformada de Laplace de .]
Passo 2
Vou reescrever
para um real
por
garantimos que a expressão vale zero para
e vale
para
.]
Passo 3
Existe um resultado muito útil (teorema do deslocamento no tempo) que diz o seguinte: se
é uma função com transformada de Laplace
, então para qualquer
Aqui
é o deslocamento no tempo,
é a variável da transformada, e
é a transformada de
quando
é considerada a partir de
. Intuição rápida: deslocar no tempo corresponde a multiplicar por um fator exponencial
na frequência.
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso caso: temos
, ou seja, é da forma
com
(onde
representa a variável de tempo “centralizada” no deslocamento). Pelo teorema,
onde
é a transformada da função
tomada a partir de
.
Passo 5
Agora calculamos
diretamente pela integral definidora:
Vamos calcular essa integral usando integração por partes duas vezes. Seja
Primeira integração por partes: tome
e
. Então
e
. Aplicando:
O termo de contorno é zero porque
decai mais rápido que
cresce (assumimos
), e no
o produto também é zero. Então
Segunda integração por partes para
: tome
,
. Então
,
. Assim
Novamente o termo de contorno é zero, e a integral restante é
. Portanto
Substituindo em
:
Logo
para
.
Passo 6
Voltando ao resultado do deslocamento (Passo 4) e usando o valor de
do Passo 5, concluímos a transformada de
. (Não escrevo a forma final aqui porque a resposta final deve aparecer apenas no campo de resposta.)
Passo 7
Como verificação rápida: poderia também calcular diretamente pela integral
Fazendo a substituição
dá
, e essa última integral é justamente
, o que confirma o resultado obtido acima.