Um certo componente de um motor de foguete falha 5 % das vezes quando o motor é acionado. Para obter maior confiabilidade no funcionamento do motor, duplica-se esse componente n vezes. O motor então falha somente se todos os n componentes falham. Suponha que as falhas dos componentes sejam independentes umas das outras. Qual é o menor valor de n que pode ser usado para garantir que o motor funcione 99 % das vezes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema sobre a confiabilidade de um motor de foguete. Especificamente, um componente do motor falha 5% das vezes. Para deixar o motor mais confiável, a gente decide duplicar esse componente várias vezes, digamos $ n $ vezes. O motor só vai falhar se todos os $ n $ componentes falharem ao mesmo tempo. Queremos descobrir qual é o menor número de duplicações $ n $ necessárias para garantir que o motor funcione corretamente 99% das vezes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e independência de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que cada componente falha 5% das vezes. Em termos de probabilidade, a chance de um componente funcionar é $ 95% $ ou $ 0,95 $.

Passo 3

Como temos $ n $ componentes duplicados e as falhas são independentes, a probabilidade de todos os $ n $ componentes falharem ao mesmo tempo é $ (0,05)^n $. Isso porque a probabilidade de cada falha é $ 0,05 $ e, sendo eventos independentes, multiplicamos as probabilidades.

Passo 4

Queremos que o motor funcione pelo menos 99% das vezes. Isso significa que a probabilidade de que não aconteça nenhum cenário em que todos falhem deve ser de pelo menos $ 0,99 $.
Então, temos:
0,99

Passo 5

Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar $ n $:
n
Subtraindo 1 de ambos os lados:
1 - (0,05)^n >= 0,99
Multiplicando por -1 (lembrando que a desigualdade inverte):
-(0,05)^n >= -0,01

Passo 6

Para resolver $ (0,05)^n \leq 0,01 $, vamos usar logaritmos. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
(0,05)^n <= 0,01
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \ln(a) $:
ln(0,05)^n <= ln(0,01)

Passo 7

Isolando $ n $:
n
Calculando os valores:
n >= ln(0,01)ln(0,05)
ln(0,01) approx -4,6052 ln(0,05) approx -2,9957

Passo 8

Como $ n $ precisa ser um número inteiro (não dá para duplicar uma fração de componente), arredondamos para cima:
n

Resposta

O menor valor de $ n $ que garante que o motor funcione 99% das vezes é 2.

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