Um certo componente de um motor de foguete falha
das vezes quando o motor é acionado. Para obter maior confiabilidade no funcionamento do motor, duplica-se esse componente
vezes. O motor então falha somente se todos os
componentes falham. Suponha que as falhas dos componentes sejam independentes umas das outras. Qual é o menor valor de
que pode ser usado para garantir que o motor funcione
das vezes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema sobre a confiabilidade de um motor de foguete. Especificamente, um componente do motor falha 5% das vezes. Para deixar o motor mais confiável, a gente decide duplicar esse componente várias vezes, digamos $ n $ vezes. O motor só vai falhar se todos os $ n $ componentes falharem ao mesmo tempo. Queremos descobrir qual é o menor número de duplicações $ n $ necessárias para garantir que o motor funcione corretamente 99% das vezes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e independência de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que cada componente falha 5% das vezes. Em termos de probabilidade, a chance de um componente funcionar é $ 95% $ ou $ 0,95 $.
Passo 3
Como temos $ n $ componentes duplicados e as falhas são independentes, a probabilidade de todos os $ n $ componentes falharem ao mesmo tempo é $ (0,05)^n $. Isso porque a probabilidade de cada falha é $ 0,05 $ e, sendo eventos independentes, multiplicamos as probabilidades.
Passo 4
Queremos que o motor funcione pelo menos 99% das vezes. Isso significa que a probabilidade de que não aconteça nenhum cenário em que todos falhem deve ser de pelo menos $ 0,99 $.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa inequação para encontrar $ n $:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por -1 (lembrando que a desigualdade inverte):
Passo 6
Para resolver $ (0,05)^n \leq 0,01 $, vamos usar logaritmos. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \ln(a) $:
Passo 7
Isolando $ n $:
Calculando os valores:
Passo 8
Como $ n $ precisa ser um número inteiro (não dá para duplicar uma fração de componente), arredondamos para cima:
Resposta
O menor valor de $ n $ que garante que o motor funcione 99% das vezes é 2.