I. todos os filiados votaram e não houve registro de voto em branco, tampouco de voto nulo;
II. 280 filiados votaram a favor de A e de B;
III. 980 filiados votaram a favor de A ou de B, mas não de C;
IV. 420 filiados votaram a favor de B, mas não de A ou de C;
V. 1.220 filiados votaram a favor de B ou de C, mas não de A;
VI. 640 filiados votaram a favor de C, mas não de A ou de B;
VII. 140 filiados votaram a favor de A e de C, mas não de B.
Determine o número de filiados ao PE que:
a) votaram a favor dos 3 candidatos.
b) votaram a favor de apenas um dos candidatos.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é sobre votar em três candidatos A, B e C e temos várias informações do tipo “quantos votaram em A e B”, “quantos votaram só em C” e por aí vai. Isso é contém de teoria de conjuntos, mais precisamente diagrama de Venn e o princípio da inclusão–exclusão para contagem de regiões. Vamos precisar:
  • Definir cada “região” do Venn (apenas A, apenas B, A∩B mas não C, etc.).
  • Traduzir cada dado em equações nessas regiões.
  • Usar o princípio de inclusão–exclusão pra fechar as contas e achar quem votou nos 3 (A∩B∩C).
  • Somar as regiões “apenas um candidato” pra responder a parte (b).

Passo 2

Vamos chamar cada região assim:
a = número de quem votou só em A
b = só em B
c = só em C
d = em A∩B mas não em C
e = em B∩C mas não em A
f = em A∩C mas não em B
x = em A∩B∩C
Agora traduzimos as informações:
II. 280 votaram a favor de A e de B (isso inclui quem também votou C), então
d + x = 280.
III. 980 votaram a favor de A ou B, mas não de C. Isso é exatamente “só A” + “só B” + “A∩B mas não C”:
a + b + d = 980.
IV. 420 votaram só em B, logo
b = 420.
V. 1 220 votaram em B ou C mas não em A:
b + c + e = 1220.
VI. 640 votaram só em C, então
c = 640.
VII. 140 votaram em A e C mas não em B, ou seja
f = 140.

Passo 3

Substituindo b e c nos lugares:
  1. d + x = 280 ⇒ d = 280 – x.
  2. a + 420 + d = 980 ⇒ a + 420 + (280 – x) = 980 ⇒ a = 980 – 700 + x = 280 + x.
  3. 420 + 640 + e = 1220 ⇒ e = 1220 – 1060 = 160.
Então temos:
a = 280 + x
b = 420
c = 640
d = 280 – x
e = 160
f = 140
x = ? (ainda vamos achar)

Passo 4

Para encontrar x usamos o princípio da inclusão–exclusão:
n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n©
      − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C)
      + n(A∩B∩C).
Como todo mundo votou e não teve voto em branco, n(A∪B∪C) é o total de filiados, que também é a soma de todas as regiões do diagrama:
N = a + b + c + d + e + f + x.
Por um lado,
N = (280+x) + 420 + 640 + (280−x) + 160 + 140 + x = 1920 + x.
Por outro, calculando pela fórmula:
n(A) = a+d+f+x = (280+x)+(280−x)+140+x = 700 + x
n(B) = b+d+e+x = 420+(280−x)+160+x = 860 + x
n© = c+e+f+x = 640+160+140+x = 940 + x
n(A∩B)=280, n(A∩C)=f+x=140+x, n(B∩C)=e+x=160+x
Aplicando:
N = (700+x)+(860+x)+(940+x)
 − [280+(140+x)+(160+x)]
 + x
= 2500+3x − (580+2x) + x
= 1920 + 2x.
Igualando 1920 + 2x = 1920 + x ⇒ x = 0.
Ou seja, ninguém votou nos três ao mesmo tempo.

Passo 5

Agora “quantos votaram em apenas um dos candidatos?” é só somar a + b + c, com x=0:
a = 280 + 0 = 280
b = 420
c = 640
soma = 280 + 420 + 640 = 1 340.

Resposta

a) 0 filiados votaram a favor dos 3 candidatos.
b) 1 340 filiados votaram a favor de apenas um dos candidatos.

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