Certo dispositivo eletrônico tem o tempo de vida, em horas, descrito pela função de probabilidade: f(t)=150 cdot e^-t50, t >= 0.
Calcular a probabilidade P(30 <= t <= 45).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo de vida f(t) = 150 e^-t/50, t >= 0 de um aparelho segue a densidade de probabilidade
Isso é uma distribuição Exponencial com parâmetro .
O que a gente precisa saber para resolver?
  • O que é função densidade (PDF) e função de distribuição acumulada (CDF) de uma Exponencial.
  • Como usar a CDF para achar probabilidade num intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a CDF F(t) = P(T <= t) = integral0^t 150 e^-u/50,du da Exponencial.
Por definição,
F(t) = 1 - e^-t/50
Fazendo essa integral, fica
Esse resultado é padrão para distribuições Exponenciais: a chance de a variável ser menor que é .

Passo 3

O que queremos é
P(30 <= T <= 45) = F(45) - F(30)
Isso porque é e é , então o intervalo é a diferença.

Passo 4

Agora, vamos plug ar na fórmula da CDF:
F(45) = 1 - e^-45/50, F(30) = 1 - e^-30/50
Logo,
P(30 <= T <= 45) = l(1 - e^-45/50r) - l(1 - e^-30/50r) = e^-30/50 - e^-45/50

Passo 5

Só falta aproximar numericamente:
e^-30/50 = e^-0.6 approx 0.5488, e^-45/50 = e^-0.9 approx 0.4066
Então
P(30 <= T <= 45) approx 0.5488 - 0.4066 = 0.1422

Resposta

P(30 <= T <= 45) = e^-0.6 - e^-0.9 approx 0.1422

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