Certo dispositivo eletrônico tem o tempo de vida, em horas, descrito pela função de probabilidade: f(t)=150 cdot e^-t50, t >= 0.
Calcular a probabilidade P(t >= 30 mid 20 <= t <= 45).

Passo 1

Beleza, a questão diz que a vida (em horas) de um dispositivo segue a densidade
f(t) = 150,e^-t/50, t>=0,
ou seja, é uma distribuição Exponencial com parâmetro Pl(t>=30 mid 20 <= t <= 45r) .
O que a gente quer é a probabilidade condicional
Para resolver, vamos precisar de:
  • Definição de probabilidade condicional.
  • Como integrar a densidade ou usar a função distribuição acumulada (CDF) da Exponencial.

Passo 2

Teoria da probabilidade condicional:
P(Amid B) = P(Acap B)P(B)
Aqui:
  • Pl(t>=30 mid 20 <= t <= 45r) = P(30 <= t <= 45)P(20 <= t <= 45) é o evento .
  • é .
    Logo

Passo 3

Agora precisamos de F(t) = P(T <= t) = 1 - e^-t/50 .
Para a Exponencial, a função distribuição acumulada é
P(20 <= t <= 45) = F(45) - F(20) = l[1 - e^-45/50r] ;-;l[1 - e^-20/50r] = e^-20/50 - e^-45/50
Então

Passo 4

Do mesmo jeito,
P(30 <= t <= 45) = F(45) - F(30) = l[1 - e^-45/50r] - l[1 - e^-30/50r] = e^-30/50 - e^-45/50

Passo 5

Substituindo na fórmula da condicional:
Pl(t>=30 mid 20 <= t <= 45r) = ,e^-30/50 - e^-45/50,,e^-20/50 - e^-45/50,
Para ver um número, calcula-se:
e^-20/50approx 0,6703, e^-30/50approx 0,5488, e^-45/50approx 0,4066,
então
P = 0,5488 - 0,40660,6703 - 0,4066 = 0,14220,2637 approx 0,54

Resposta

Pl(t>=30 mid 20 <= t <= 45r) = e^-30/50 - e^-45/50e^-20/50 - e^-45/50 approx 0,54

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