Em um certo escoamento bidimensional, as linhas de pressão constante, ou isóbaras, são dadas por p_{o}-B z+C x^{2}=c t e . B e C são constante e p_{o} é a pressão na origem (x, z)=0. Encontre uma expressão para a família de linhas que são sempre paralelas ao gradiente de pressão local \vec{\nabla} p oû seja encontre uma expressão x=f(z).

Passo 1

O enunciado dá as isóbaras do escoamento bidimensional pela equação da pressão
p(x,z)=p_{o}-B\,z+C\,x^{2}=\text{const}
e pede as curvas cujos vetores tangentes são sempre paralelos a \vec{\nabla}p. Vamos achar uma expressão x=f(z) para essas curvas integrando o campo \vec{\nabla}p.

Passo 2

Calculemos o gradiente de p. Para
p(x,z)=p_{o}-B\,z+C\,x^{2}
temos
\frac{\partial p}{\partial x}=2\,C\,x \quad\text{e}\quad \frac{\partial p}{\partial z}=-B,
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\vec{\nabla}p=(2C\,x)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(-B)\,\hat{\boldsymbol{k}}.

Passo 3

Seja uma curva x(z) cujo vetor tangente (dx,dz) é paralelo a \vec{\nabla}p. Então
\frac{dz}{dx} =\frac{\text{componente em }z\text{ de }\vec{\nabla}p} {\text{componente em }x\text{ de }\vec{\nabla}p} =\frac{-B}{2C\,x}.
Alternativamente, escrevemos
\frac{dx}{dz}=-\frac{2C}{B}\,x.

Passo 4

Separe as variáveis na equação
\frac{dx}{dz}=-\frac{2C}{B}\,x
e integre:
\frac{1}{x}\,dx=-\frac{2C}{B}\,dz \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{1}{x}\,dx=-\frac{2C}{B}\int dz \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x\bigr|=-\frac{2C}{B}\,z+K,
onde K é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando, obtemos a família de curvas:
x(z)=A\,e^{-\tfrac{2C}{B}\,z},
com A=e^{K} constante arbitrária.

Resposta

A expressão geral das curvas cujos tangentes são paralelas a \vec{\nabla}p é
\boxed{x(z)=A\,e^{-\tfrac{2C}{B}\,z},}
onde A é constante de integração.

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