4^{\circ} Questão (2,5 Pontos): Uma camada de material refratário ( k=1,5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 50 mm de espessura está localizada entre duas chapas de aço ( \mathrm{k}=45 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) de 6,3 \mathrm{~mm} de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas sâo rugosas de modo que apenas 40 \% da área total está em contato com o aço. Os espaços vazios são ocupados por ar ( \mathrm{k}=0,013 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}) e a espessura média da rugosidade de 0,9 mm . Considerando que as temperaturas das superficies externas da placa de aço săo 430^{\circ} \mathrm{C} e 90^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente; calcule a taxa de transferência de calor que se estabelece na parede composta. Considere a área unitária. OBS: Na rugosidade, o ar está parado.

Passo 1

O enunciado descreve uma parede composta, em área unitária, formada por:
– Uma placa de aço de espessura L_{\text{aço}}=6{,}3\\ \text{mm}=0{,}0063\\ \text{m}ç e condutividade k_{\text{aço}}=45\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})ç
– Uma camada refratária de espessura L_{\text{ref}}=50\\ \text{mm}=0{,}05\\ \text{m} e condutividade k_{\text{ref}}=1{,}5\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C})
– Outra placa de aço idêntica à primeira
As faces refratárias estão rugosas: apenas 40\% da área está em contato direto com o aço f=0{,}4; o restante 1-f=0{,}6 forma um interstício preenchido por ar parado de condutividade k_{\text{ar}}=0{,}013\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) e espessura média d_{\text{ar}}=0{,}9\\ \text{mm}=0{,}0009\\ \text{m}. As temperaturas nas superfícies externas das chapas de aço são T_{\text{quente}}=430{}^\circ\mathrm{C} e T_{\text{fria}}=90{}^\circ\mathrm{C}.
Conteúdo: condução térmica em série e em paralelo (modelagem de duas vias de calor em paralelo, área de contato vs. área com ar).

Passo 2

Modelamos duas “vias” de condução em paralelo sobre a área unitária:
  1. Via 1 (contato direto, fração f): calor atravessa em série placa–refração–placa, sem lacuna de ar.
  2. Via 2 (lacuna de ar, fração 1-f): calor atravessa placa–ar–refração–ar–placa, ou seja, adiciona duas camadas de ar, uma em cada interface.
    Em cada via somamos resistências em série:
R = \sum_i \frac{L_i}{k_i}\,.

Passo 3

Via 1 (contato direto, fração f=0{,}4). Somatório de resistências em série:
R_1 = \frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}} + \frac{L_{\text{ref}}}{k_{\text{ref}}} + \frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}} = 2\frac{0{,}0063}{45} + \frac{0{,}05}{1{,}5} \approx 0{,}00028 + 0{,}03333 =0{,}03361\\ \frac{{}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{kcal}/\mathrm{h}}.çççç

Passo 4

Via 2 (lacuna de ar, fração 1-f=0{,}6). Somatório de resistências em série com duas camadas de ar:
R_2 = 2\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}} + \frac{L_{\text{ref}}}{k_{\text{ref}}} + 2\frac{d_{\text{ar}}}{k_{\text{ar}}} = 2\frac{0{,}0063}{45} + \frac{0{,}05}{1{,}5} + 2\frac{0{,}0009}{0{,}013} \approx 0{,}00028 + 0{,}03333 + 0{,}13846 =0{,}17207\\ \frac{{}^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{kcal}/\mathrm{h}}.çç

Passo 5

A taxa de calor por área total é a soma ponderada das taxas em cada via. Como \Delta T = 430 - 90 = 340{}^\circ\mathrm{C}, temos
q'' = f\,\frac{\Delta T}{R_1} \;+\;(1-f)\,\frac{\Delta T}{R_2} =0{,}4\;\frac{340}{0{,}03361} +0{,}6\;\frac{340}{0{,}17207}.
Calculando:
\frac{340}{0{,}03361}\approx 10\,113,\quad \frac{340}{0{,}17207}\approx1\,977,
q''\approx0{,}4\cdot10\,113+0{,}6\cdot1\,977 =4\,045+1\,186=5\,231\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2).

Resposta

A taxa de transferência de calor na parede composta vale aproximadamente
\boxed{q''\approx5{,}23\times10^{3}\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^{2}).}

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