Num certo estado onde os automóveis devem ser testados quanto à emissão de gases poluentes, 25 % de todos os automóveis emitem quantidades excessivas de gases poluentes. Ao serem testados, 99 % de todos os automóveis que emitem quantidades excessivas de gases pouluentes são reprovados, mas 17 % dos que não emitem quantidades excessivas de gases poluentes também são reprovados. Qual é a probabilidade de um automóvel que é reprovado no teste efetivamente emitir uma quantidade excessiva de gases poluentes? (R:0,66)

Passo 1

O enunciado apresenta um teste para emissão excessiva de gases poluentes em automóveis. Denotamos por E o evento “automóvel emite gases em excesso” e por R o evento “automóvel é reprovado no teste”. A matéria envolvida é probabilidade condicional e teorema de Bayes.

Passo 2

Do enunciado temos:
  • P(E)=0,25
  • P(E^c)=1-P(E)=0,75
  • P(Rmid E)=0,99
  • P(Rmid E^c)=0,17

Passo 3

Calculamos a probabilidade total de reprovação usando a lei da probabilidade total:
P(R)=P(Rmid E),P(E)+P(Rmid E^c),P(E^c) =0,99cdot0,25+0,17cdot0,75 =0,2475+0,1275 =0,375

Passo 4

Aplicamos o teorema de Bayes para achar P(Emid R):
P(Emid R) =P(Rmid E),P(E)P(R) =0,99cdot0,250,375 =0,24750,375 =0,66

Resposta

0,66

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