Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=3 e^{-t}, y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - y' - 6y = 3e^-t, y(0)=1, y'(0)=0
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois um particular para o forçamento 3e^-t, e por fim aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
y'' - y' - 6y = 0
é
r^2 - r - 6 = 0
As raízes são
r = 3 e r = -2
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C,e^3t + D,e^-2t

Passo 3

Para um particular, fazemos o palpite
yp(t) = A,e^-t
Calculamos as derivadas:
yp'(t) = -A,e^-t, yp''(t) = A,e^-t
Substituindo em y''-y'-6y=3e^-t obtemos
A,e^-t - l(-A,e^-tr) -6l(A,e^-tr) = (A + A -6A)e^-t = -4A,e^-t
e portanto
-4A,e^-t = 3,e^-t Longrightarrow A = -34
Assim
yp(t) = -34,e^-t

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C,e^3t + D,e^-2t - 34,e^-t
Calculamos a derivada
y'(t) = 3C,e^3t -2D,e^-2t + 34,e^-t
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=0 dá o sistema
C + D - tfrac34 = 1, 3C -2D + tfrac34 = 0

Passo 5

Resolvendo
C + D = tfrac74, 3C - 2D = -tfrac34,
fazendo C = tfrac74-D e substituindo,
3l(tfrac74-Dr) -2D = -tfrac34 ;Longrightarrow; tfrac214 -5D = -tfrac34 ;Longrightarrow; D = tfrac65, C = tfrac74 - tfrac65 = tfrac1120

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = 1120,e^3t + 65,e^-2t - 34,e^-t

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