Resolva os probemas de valores iniciais propostos.
(y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=3 e^{-t}, y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois um particular para o forçamento , e por fim aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea
é
As raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para um particular, fazemos o palpite
Calculamos as derivadas:
Substituindo em obtemos
e portanto
Assim
Passo 4
A solução geral é
Calculamos a derivada
Aplicando e dá o sistema
Passo 5
Resolvendo
C + D = tfrac74, 3C - 2D = -tfrac34,
fazendo C = tfrac74-D e substituindo,
3l(tfrac74-Dr) -2D = -tfrac34 ;Longrightarrow; tfrac214 -5D = -tfrac34 ;Longrightarrow; D = tfrac65, C = tfrac74 - tfrac65 = tfrac1120