Num dado país
da população sofre de uma determinada doença:
de forma grave e
de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
a) Efetuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo? (R: 0,135)
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença; (R: 0.6667)
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que tenham a doença? (R: 0,1)
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
a) Efetuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo? (R: 0,135)
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença; (R: 0.6667)
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que tenham a doença? (R: 0,1)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para não perder nada):\n
- A fracção da população com doença grave é
.\n - A fracção da população com doença moderada é
.\n - Logo, a fracção da população sem doença é
(porque ).\n - O teste dá resultado positivo com probabilidades:\n
-
\n -
\n -
\n
As perguntas são:\n
(a) Efetuando o teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo?\n
(b) Sabendo que o resultado foi positivo, qual a probabilidade de o indivíduo ter a doença (qualquer forma)?\n
(c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade do teste dar negativo, condicionada a que o indivíduo tenha a doença?
-
Passo 2
Defino eventos e notação para ficar organizado (sempre bom isso numa prova):\n
-
= indivíduo com doença na forma grave.\n -
= indivíduo com doença na forma moderada.\n -
= indivíduo saudável (sem doença).\n -
= resultado do teste positivo.\n -
= resultado do teste negativo.\n
Também anoto as probabilidades marginais dadas:\n
Passo 3
Para resolver (a) uso a regra da probabilidade total: quando um evento pode acontecer vindo de vários casos mutuamente exclusivos, a probabilidade total é a soma das probabilidades condicionais ponderadas pelas probabilidades de cada caso. Escrevo a fórmula geral (aqui cada partição é
):\n
Expliquei a fórmula: cada termo
significa “probabilidade de estar no caso
vezes a probabilidade do teste dar positivo nesse caso”; somando os casos cobrimos toda a população.
Passo 4
Substituo os números na fórmula de (a) e calculo passo a passo:\n
Calculo cada produto:\n
Somando:\n
Passo 5
Agora (b): querem
, ou seja a probabilidade de ter doença sabendo que o teste deu positivo. Vou chamar
ao evento “ter doença” (qualquer forma), assim
e
. A fórmula de Bayes (ou razão direta usando definição de probabilidade condicional) é:\n
Explico:
é a probabilidade de um indivíduo ter doença e teste positivo; isso é soma das contribuições de
e
porque são mutuamente exclusivos.
Passo 6
Calculo o numerador
usando os condicionais:\n
Logo\n
Passo 7
Substituo na fórmula condicional e calculo:\n
Faço a divisão:
. Em decimal aproximado\n
Passo 8
Agora (c): pedem a probabilidade de o teste dar negativo dado que o indivíduo tem a doença, isto é
.\n
Usamos a definição de probabilidade condicional por partes (novamente ). Podemos calcular a probabilidade conjunta de ter doença e teste negativo e dividir por
:\n
Usamos a definição de probabilidade condicional por partes (novamente
Passo 9
Calculo cada termo do numerador:\n
- Para
: , logo \n - Para
: , logo \n
Somando o numerador:. O denominador é .
Passo 10
Divido para obter a resposta de (c):\n
Interpretação rápida e amigável: entre os doentes, só os moderados podem ter um negativo (com probabilidade
), e como os moderados são
da população e os doentes
, a média fica
(ou
).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)