Num dado país 10 \% da população sofre de uma determinada doença: 6 \% de forma grave e 4 \% de forma moderada. Para o seu diagnóstico é efetuado um teste que dá resultado positivo:
i. com probabilidade 1 para um indivíduo com doença na forma grave;
ii. com probabilidade 0,75 para um indivíduo com doença na forma moderada;
iii. com probabilidade 0,05 para um indivíduo não doente.
a) Efetuando um teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo? (R: 0,135)
b) Se, para um dado indivíduo, o resultado do teste foi positivo, qual a probabilidade de ele ter a doença; (R: 0.6667)
c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade de o teste dar negativo para indivíduos que tenham a doença? (R: 0,1)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para não perder nada):\n
  • A fracção da população com doença grave é \;0,06.\n
  • A fracção da população com doença moderada é \;0,04.\n
  • Logo, a fracção da população sem doença é \;0,90 (porque 1-0,06-0,04=0,90).\n
  • O teste dá resultado positivo com probabilidades:\n
    • \;P(+ \mid \text{grave}) = 1\n
    • \;P(+ \mid \text{moderada}) = 0,75\n
    • \;P(+ \mid \text{saudável}) = 0,05á\n
      As perguntas são:\n
      (a) Efetuando o teste num indivíduo ao acaso, qual a probabilidade de o resultado ser positivo?\n
      (b) Sabendo que o resultado foi positivo, qual a probabilidade de o indivíduo ter a doença (qualquer forma)?\n
      (c) Escolhendo um indivíduo aleatoriamente, qual a probabilidade do teste dar negativo, condicionada a que o indivíduo tenha a doença?

Passo 2

Defino eventos e notação para ficar organizado (sempre bom isso numa prova):\n
  • \;G = indivíduo com doença na forma grave.\n
  • \;M = indivíduo com doença na forma moderada.\n
  • \;S = indivíduo saudável (sem doença).\n
  • \;+ = resultado do teste positivo.\n
  • \;- = resultado do teste negativo.\n
    Também anoto as probabilidades marginais dadas:\n
    \;P(G)=0,06,\quad P(M)=0,04,\quad P(S)=0,90.

Passo 3

Para resolver (a) uso a regra da probabilidade total: quando um evento pode acontecer vindo de vários casos mutuamente exclusivos, a probabilidade total é a soma das probabilidades condicionais ponderadas pelas probabilidades de cada caso. Escrevo a fórmula geral (aqui cada partição é G,M,S):\n
P(+)=P(+\mid G)P(G)+P(+\mid M)P(M)+P(+\mid S)P(S).
Expliquei a fórmula: cada termo P(+\mid X)P(X) significa “probabilidade de estar no caso X vezes a probabilidade do teste dar positivo nesse caso”; somando os casos cobrimos toda a população.

Passo 4

Substituo os números na fórmula de (a) e calculo passo a passo:\n
P(+)=1\cdot 0,06 + 0,75\cdot 0,04 + 0,05\cdot 0,90.\n
Calculo cada produto:\n
1\cdot 0,06=0,06,\quad 0,75\cdot 0,04=0,03,\quad 0,05\cdot 0,90=0,045.\n
Somando:\n
P(+)=0,06+0,03+0,045=0,135.

Passo 5

Agora (b): querem \;P(\text{doença}\mid +)ç, ou seja a probabilidade de ter doença sabendo que o teste deu positivo. Vou chamar D ao evento “ter doença” (qualquer forma), assim \;D=G\cup M e \;P(D)=0,10. A fórmula de Bayes (ou razão direta usando definição de probabilidade condicional) é:\n
P(D\mid +)=\frac{P(D\cap +)}{P(+)}.\n
Explico: P(D\cap +) é a probabilidade de um indivíduo ter doença e teste positivo; isso é soma das contribuições de G e M porque são mutuamente exclusivos.

Passo 6

Calculo o numerador P(D\cap +)=P(G\cap +)+P(M\cap +) usando os condicionais:\n
P(G\cap +)=P(+\mid G)P(G)=1\cdot 0,06=0,06,\n
P(M\cap +)=P(+\mid M)P(M)=0,75\cdot 0,04=0,03.\n
Logo\n
P(D\cap +)=0,06+0,03=0,09.

Passo 7

Substituo na fórmula condicional e calculo:\n
P(D\mid +)=\frac{0,09}{P(+)}=\frac{0,09}{0,135}.\n
Faço a divisão: 0,09/0,135=(9/100)/(135/1000)=9/13,5=2/3. Em decimal aproximado\n
P(D\mid +)=\frac{2}{3}\approx 0,6667.

Passo 8

Agora (c): pedem a probabilidade de o teste dar negativo dado que o indivíduo tem a doença, isto é \;P(-\mid D).\n
Usamos a definição de probabilidade condicional por partes (novamente D=G\cup M). Podemos calcular a probabilidade conjunta de ter doença e teste negativo e dividir por P(D):\n
P(-\mid D)=\frac{P(D\cap -)}{P(D)}=\frac{P(G\cap -)+P(M\cap -)}{P(D)}.

Passo 9

Calculo cada termo do numerador:\n
  • Para \;G: P(-\mid G)=1-P(+\mid G)=1-1=0, logo P(G\cap -)=P(G)\cdot 0=0,06\cdot 0=0.\n
  • Para \;M: P(-\mid M)=1-P(+\mid M)=1-0,75=0,25, logo P(M\cap -)=P(M)\cdot 0,25=0,04\cdot 0,25=0,01.\n
    Somando o numerador: P(D\cap -)=0+0,01=0,01. O denominador é P(D)=0,10.

Passo 10

Divido para obter a resposta de (c):\n
P(-\mid D)=\frac{0,01}{0,10}=0,1.\n
Interpretação rápida e amigável: entre os doentes, só os moderados podem ter um negativo (com probabilidade 0,25), e como os moderados são 4\% da população e os doentes 10\%, a média fica 0,1 (ou 10\%).

Resposta

(a) 0,135\n
(b) 0,6667\n
(c) 0,1

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