Num lote de animais, 50 \% são machos e 20 \% da raça Wistar. Dentre os que são machos, 30 \% é Wistar.
a) Qual a porcentagem de animais que não são machos e nem Wistar; (R: 0,45)
b) Escolhe-se um animal aleatoriamente e verifica-se que ele não é da raça Wistar. Qual a probabilidade do animal não ser macho? (R: \mathbf{0 , 5 6 2 5} )
c) Qual a probabilidade de um animal ser macho ou da raça Wistar? (R: 0,55)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para a gente se localizar):
  • A proporção de machos é \;P(M)=0,50.
  • A proporção da raça Wistar é \;P(W)=0,20.
  • Dentre os machos, a proporção que é Wistar é \;P(W\mid M)=0,30.
As perguntas são:
a) Qual a porcentagem de animais que não são machos e nem Wistar?
b) Se escolhe-se um animal ao acaso e sabemos que ele não é Wistar, qual a probabilidade de ele não ser macho?
c) Qual a probabilidade de um animal ser macho ou da raça Wistar?

Passo 2

Primeiro vamos obter a probabilidade conjunta de um animal ser macho e Wistar ao mesmo tempo, isto é \;P(M\cap W).
Fórmula que vamos usar (regra de multiplicação de probabilidade condicionada):
P(M\cap W)=P(W\mid M)\cdot P(M).
Explicação da fórmula: \;P(W\mid M) é a probabilidade de ser Wistar dado que o animal é macho; multiplicando por \;P(M) obtemos a fração total do lote que é macho e Wistar juntos.
Agora aplicando os números:
P(M\cap W)=0,30\cdot 0,50=0,15.
Portanto \;P(M\cap W)=0,15 (ou seja 15\% do lote).

Passo 3

Para responder (a) e (c) vamos usar a fórmula da união de dois eventos e a ideia de complementaridade. A união tem a fórmula:
P(M\cup W)=P(M)+P(W)-P(M\cap W).
Motivação: ao somar P(M) e P(W) contamos duas vezes os que são ambos (machos e Wistar), por isso subtraímos P(M\cap W).
Substituindo os valores que já temos:
P(M\cup W)=0,50+0,20-0,15=0,55.
Logo \;P(M\cup W)=0,55 (ou seja 55\% dos animais são macho ou Wistar).

Passo 4

Agora a parte (a): querer “não são machos e nem Wistar” é o complemento do evento “ser macho ou ser Wistar”. Em notação:
\text{não (M ou W)}=(M\cup W)^{c}.ã
Regra do complemento:
P\big((M\cup W)^{c}\big)=1-P(M\cup W).
Usando o valor do passo anterior:
P(\text{não M e não W})=1-0,55=0,45.ãã
Interpretação: 45\% dos animais não são machos nem Wistar.

Passo 5

Agora a parte (b): queremos \;P(\text{não M}\mid\text{não W})ãã, isto é a probabilidade do animal não ser macho sabendo que ele não é Wistar. Use a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui tomamos A=\text{não M}ã e B=\text{não W}ã. Então
P(\text{não M}\mid\text{não W})=\frac{P(\text{não M}\cap\text{não W})}{P(\text{não W})}.ããããã
Já calculamos o numerador no passo 4: P(\text{não M}\cap\text{não W})=0,45ãã. O denominador é
P(\text{não W})=1-P(W)=1-0,20=0,80.ã
Logo
P(\text{não M}\mid\text{não W})=\frac{0,45}{0,80}.ãã
Fazendo a divisão (ou simplificando a fração 45/80=9/16):
\frac{0,45}{0,80}=0,5625.
Interpretação: dado que o animal não é Wistar, a probabilidade de ele não ser macho é 0,5625 (ou 56{,}25\%).

Passo 6

A parte (c) já foi respondida no passo 3, mas explicando de forma prática para a prova: quando pedirem “probabilidade de ser macho ou Wistar”, você aplica diretamente a fórmula da união que usamos:
P(M\cup W)=0,55.
Isso significa 55\%.

Resposta

a) 0,45
b) 0,5625
c) 0,55

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