Num certo exame só são admitidas as respostas SIM ou NÃO. Um aluno só estudou metade da matéria e quando não conhece a resposta, responde ao acaso. Qual a probabilidade de uma resposta correcta ser consequência dos conhecimentos e não do acaso?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma prova onde só dá pra responder com “SIM” ou “NÃO”. Um aluno estudou só metade da matéria e, quando não sabe a resposta, chuta. Queremos descobrir qual a chance de uma resposta certa ser porque ele realmente sabe, e não só porque chutou. Vamos precisar de conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o aluno ter estudado metade da matéria. Isso quer dizer que, para metade das perguntas, ele sabe a resposta exatamente. Para a outra metade, ele não sabe e precisa chutar entre “SIM” ou “NÃO”.

Passo 3

Agora, vamos pensar em cada pergunta como um evento independente. Se ele sabe a resposta, ele acerta com 100% de certeza. Se ele não sabe, ele tem 50% de chance de acertar, já que está chutando entre duas opções igualmente prováveis.

Passo 4

Vamos chamar de $ P© $ a probabilidade da resposta ser correta porque ele sabia, e de $ P(A) $ a probabilidade de ser correta por acaso.
Sabemos que:
  • $ P© = $ probabilidade de saber a resposta $ \times $ certeza de acertar = $ 0,5 \times 1 = 0,5 $
  • $ P(A) = $ probabilidade de não saber e acertar por chute = $ 0,5 \times 0,5 = 0,25 $

Passo 5

A probabilidade total de uma resposta estar correta é a soma de $ P© $ e $ P(A) $:
P(C)

Passo 6

Agora, queremos saber a probabilidade de uma resposta correta ser devida ao conhecimento, ou seja, $ P(C ,|, Correta) $. Isso é dado por:
P(C ,|, Correta)

Resposta

A probabilidade de uma resposta correta ser por conhecimento e não por acaso é de $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 66,67%.

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