Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
ii. A probabilidade do indivíduo ter a doença, dado que o resultado do teste foi positivo.
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
ii. A probabilidade do indivíduo ter a doença, dado que o resultado do teste foi positivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com probabilidades condicionais, mais especificamente usando o Teorema de Bayes. O problema fala sobre um teste para detectar uma doença e nos dá algumas probabilidades: a chance de o teste dar positivo se a pessoa realmente tem a doença, a chance de dar positivo se a pessoa não tem a doença, e a prevalência da doença na população. Vamos usar essas informações para descobrir qual a probabilidade de alguém realmente ter a doença, sabendo que o teste deu positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- P(T+ | D) = 0.99: Probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa tem a doença.
- P(T+ | ¬D) = 0.02: Probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa não tem a doença.
- P(D) = 0.001: Probabilidade de uma pessoa ter a doença na população (prevalência).
O que queremos encontrar é P(D | T+), ou seja, a probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que o teste deu positivo.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Agora, precisamos encontrar P(T+), a probabilidade de o teste dar positivo para uma pessoa escolhida aleatoriamente na população.
Passo 4
A probabilidade total de o teste dar positivo, P(T+), pode acontecer de duas formas:
- A pessoa tem a doença e o teste dá positivo.
- A pessoa não tem a doença e o teste dá positivo.
Então, podemos calcular P(T+) assim:
Sabemos que P(¬D) = 1 - P(D). Vamos calcular cada parte.
Passo 5
Calculando cada termo:
- P(T+ | D) \cdot P(D) = 0.99 \cdot 0.001 = 0.00099
- P(T+ | ¬D) \cdot P(¬D) = 0.02 \cdot (1 - 0.001) = 0.02 \cdot 0.999 = 0.01998
Agora, somamos esses valores para obter P(T+):
Passo 6
Agora que temos P(T+), podemos voltar à fórmula do Teorema de Bayes para encontrar P(D | T+):
Passo 7
Fazendo a divisão:
Isso significa que a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 4.72%.
Resposta
A probabilidade do indivíduo ter a doença, dado que o resultado do teste foi positivo, é de aproximadamente 4,72%.