Num teste de deteção de uma certa doença, a probabilidade do resultado ser positivo quando aplicado a um indivíduo com essa doença é 0.99 , ao passo que a probabilidade de se observar um resultado positivo num indivíduo sem essa doença é 0.02 .
(a) Numa certa população a probabilidade de uma pessoa arbitrária ter a doença é 0.001 (prevalência). Para um indivíduo escolhido ao acaso nesta população, calcule:
ii. A probabilidade do indivíduo ter a doença, dado que o resultado do teste foi positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com probabilidades condicionais, mais especificamente usando o Teorema de Bayes. O problema fala sobre um teste para detectar uma doença e nos dá algumas probabilidades: a chance de o teste dar positivo se a pessoa realmente tem a doença, a chance de dar positivo se a pessoa não tem a doença, e a prevalência da doença na população. Vamos usar essas informações para descobrir qual a probabilidade de alguém realmente ter a doença, sabendo que o teste deu positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • P(T+ | D) = 0.99: Probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa tem a doença.
  • P(T+ | ¬D) = 0.02: Probabilidade do teste ser positivo dado que a pessoa não tem a doença.
  • P(D) = 0.001: Probabilidade de uma pessoa ter a doença na população (prevalência).
O que queremos encontrar é P(D | T+), ou seja, a probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que o teste deu positivo.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as probabilidades condicionais. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(D | T+) = P(T+ | D) cdot P(D)P(T+)
Agora, precisamos encontrar P(T+), a probabilidade de o teste dar positivo para uma pessoa escolhida aleatoriamente na população.

Passo 4

A probabilidade total de o teste dar positivo, P(T+), pode acontecer de duas formas:
  1. A pessoa tem a doença e o teste dá positivo.
  2. A pessoa não tem a doença e o teste dá positivo.
Então, podemos calcular P(T+) assim:
P(T+) = P(T+ | D) cdot P(D) + P(T+ | ¬D) cdot P(¬D)
Sabemos que P(¬D) = 1 - P(D). Vamos calcular cada parte.

Passo 5

Calculando cada termo:
  • P(T+ | D) \cdot P(D) = 0.99 \cdot 0.001 = 0.00099
  • P(T+ | ¬D) \cdot P(¬D) = 0.02 \cdot (1 - 0.001) = 0.02 \cdot 0.999 = 0.01998
Agora, somamos esses valores para obter P(T+):
P(T+) = 0.00099 + 0.01998 = 0.02097

Passo 6

Agora que temos P(T+), podemos voltar à fórmula do Teorema de Bayes para encontrar P(D | T+):
P(D | T+) = 0.99 cdot 0.0010.02097 = 0.000990.02097

Passo 7

Fazendo a divisão:
P(D | T+) approx 0.000990.02097 approx 0.0472
Isso significa que a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 4.72%.

Resposta

A probabilidade do indivíduo ter a doença, dado que o resultado do teste foi positivo, é de aproximadamente 4,72%.

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