7 Em certo experimento, o número de bactérias presente em uma cultura após t minutos foi Q(t)=2000 e^0,05 t. Qual foi o número médio de bactérias presentes na cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento?

Passo 1

O enunciado dá a função Q(t)=2000,e^0,05t e pede o número médio de bactérias no intervalo [0,5]. O conteúdo aqui é valor médio de uma função contínua, que se obtém por integração.

Passo 2

O valor médio bar Q de uma função Q(t) no intervalo [a,b] é dado por
bar Q = 1b - a integrala^b Q(t),dt

Passo 3

Calculamos a integral
integral0^5 Q(t),dt = integral0^5 2000,e^0,05t,dt
Como integral e^kt,dt = tfrac1ke^kt, temos
integral0^5 2000,e^0,05t,dt = 2000 cdot 10,05 l[e^0,05tr]0^5 = 2000 cdot 20,l(e^0,25-1r) = 40000,l(e^0,25-1r)

Passo 4

Substituindo na fórmula do valor médio:
bar Q = 15 - 0;40000,l(e^0,25-1r) = 8000,l(e^0,25-1r)

Passo 5

Para um valor aproximado, use e^0,25approx1,284025. Então
bar Q approx 8000,(1,284025 - 1) = 8000 cdot 0,284025 approx 2272,2

Resposta

bar Q = 8000l(e^0,25-1r)approx2272,2 bactérias.

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